Binomio De Newton

Introducción

Un binomio es un polinomio formado por dos términos. Newton desarrolló la fórmula para calcular las potencias de un binomio utilizando números combinatorios.

La fórmula del binomio de Newton sirve para calcular las potencias de un binomio utilizando números combinatorios. Mediante esta fórmula podemos expresar la potencia (a + b)n como una suma de varios términos, cuyos coeficientes se pueden hallar utilizando el triángulo de Tartaglia.

En este sentido, en el presente trabajo, serán explicados cada uno de los temas que estén relacionados al binomio de Newton, como lo es el triángulo de tartaglia, números combinatorios, factorial de un número, etc. Con esto se plantea comprender sus aplicaciones, formulas y cómo se deben realizar.

Binomio de newton

El binomio de Newton es una fórmula que se utiliza para hacer el desarrollo de la potencia de un binomio elevado a una potencia cualquiera de exponente natural. Es decir, se trata de una fórmula para desarrollar la expresión: (x + a)n, n perteneciente a N .

(x+a)^n=∑_(k=0)^n▒〖(n¦k) x^k a^(n-k) 〗

Es importante resaltar que a y b pueden ser números, letras o expresiones algebraicas cualesquiera. Así, también podremos desarrollar, por ejemplo, expresiones como: (3b+6x)n o (4b-36ª)n

*(a + b)0 = 1

*(a + b)1 = a + b

*(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2

*(a + b)3 = (a + b)2(a + b) = (a2 + 2ab + b2)(a + b) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

*(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

*(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

*(a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 +b6

Triángulo de tartáglia

Es la representación de los coeficientes binomiales ordenados en forma triangular, es decir, este no es un triángulo en el sentido geométrico de la palabra, sino una colección de números dispuestos en forma triangular que se obtienen de una manera muy sencilla.

Ejemplo:

El triángulo de tartáglia es infinito, se pueden construir todas las filas que sean necesarias según el caso.

A partir de la tercera fila, el método de construcción es el siguiente:

*Primer número: 1.

*Números siguientes: la suma de los dos que se encuentran inmediatamente por encima.

*Último número: 1.

Se puede observar que además de que cada fila empieza y termina con el número 1, los números que aparecen forman una fila simétrica, o sea, el primero es igual al último, el segundo igual al penúltimo, el tercero igual al antepenúltimo, etc.

Este triángulo está relacionado con el desarrollo de las potencias de un binomio y con los números combinatorios.

Ejemplo: (a + b)4 = 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4

Se puede comprobar que los coeficientes que acompañan a las potencias de a y de b, son los mismos números que los de la fila correspondiente del triángulo.

Por otra parte, cada número que aparece en el triángulo se puede calcular independientemente del resto. Si se quiere averiguar un número de la fila 20, por ejemplo, no es obligatorio calcular todas las filas anteriores, ya que para esto existe una formula específica. Todos estos números en realidad son “número combinatorios”.

Factorial de un número

Es una forma abreviada de expresar el producto de un número entero positivo por todos los enteros positivos menores que él. Su notación es un signo de admiración, !. Por definición se acepta que 0! = 1, y que 1! = 1.

Ejemplos: 12! = 12x11x10x9x8x7x6x5x4x3x2x1= 479001600.

20!=20x19x18x17x16x15x14x13x12x11x10x9x8x7x6x5x4x3x2x1=

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