Binomio De Newton

Binomio De Newton

El binomio de Newton es un algoritmo que permite calcular una potencia cualquiera de un binomio, para ello se emplean los coeficientes binomiales, que no son más que una sucesión de números combinatorios. La fórmula general del binomio de Newton dice:

Esto es la forma de obtener (a+b)n

Para ello veamos cómo se van desarrollando las potencias de (a+b)

Observando los coeficientes de cada polinomio resultante vemos que siguen esta secuencia

Esto es el triángulo de Tartaglia que se obtiene escribiendo en filas los números combinatorios desde los de numerador 1.

O sea que cada uno de esos números corresponde al valor de un número combinatorio así:

Podemos observar que cada fila empieza y termina por 1, que los números que aparecen forman una fila simétrica, o sea el primero es igual al último, el segundo igual al penúltimo, etc., y cada número es la suma de los dos que tiene encima.

Por otra parte en cualquier momento podemos hallar el valor de un número combinatorio cualquiera recordando que se calculan por la siguiente fórmula:

Por ejemplo si quiero calcular

Por otra parte, observando las potencias de (a+b) de nuevo vemos que las potencias de a empiezan elevadas a n, va disminuyendo uno a uno hasta llegar a cero. A los exponentes de b les ocurre lo contrario.

Con lo que ya tenemos podemos calcular directamente la siguiente potencia de (a+b), sus coeficientes serán la fila quinta del triángulo de Tartaglia.

Y ya podemos escribir la fórmula general del llamado binomio de Newton

Que también se puede escribir de forma abreviada así:

Desarrollo de (a – b) n

Cuando el segundo término del binomio es negativo los signos del desarrollo son alternativamente + y -.

En efecto (a – b)n = [a + (–b)]2

Al desarrollar [a + (–b)]n los términos 2do, 4to, 6to etc de acuerdo con la formula (1) contendrán el segundo término (–b) elevado a un exponente impar y como toda potencia impar de una cantidad negativa es negativa, dichos términos serán negativos y los términos 3ro, 5to, 7mo, etc. contendrán a (–b) elevada a un exponente par y como toda potencia par de una cantidad negativa es positiva, dichos términos serán positivos. Por tanto debemos escribir:

El último termino será positivo si n es par, y negativo si n es impar. En el desarrollo de una potencia cualquiera de un binomio los denominadores de los coeficientes pueden escribirse, si se desea como factoriales. Así 1.2 puede escribirse 2!; 1.2.3 = 3!, etc.

El triángulo de números combinatorios de Tartaglia o de Pascal (debido a que fue este matemático quien lo popularizó) es un triángulo de números enteros, infinito y simétrico, del que podemos ver sus primeras líneas:

Propiedades del Triángulo de Pascal o de Tartaglia

1. El número superior es un 1, la segunda fila corresponde a los números combinatorios de 1, la tercera de 2, la cuarta de 3 y así sucesivamente.

2. Todas las filas empiezan y acaban en 1.

3. Todas las filas son simétricas.

4. Cada número se obtiene sumando los dos que están situados sobre él.

Aplicando estas propiedades podemos escribir el

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