Binomio De Newton
Enviado por estherochoah • 9 de Septiembre de 2014 • 1.213 Palabras (5 Páginas) • 442 Visitas
BINOMIO DE NEWTON I
Introducción al Binomio de Newton
(para exponente entero y positivo Z+)
Teorema
Sean:
Desarrollando los binomios:
….
En forma general:
donde:
x: primer término
a: segundo término
Nota: Los coeficientes de los términos equidistantes son iguales.
Observación:
[
Triángulo de Pascal
Es una disposición o arreglo triangular de números cuyo vértice superior y los lados están formados por la unidad, así mismo a partir de la segunda fila, determina los siguientes elementos comprendidos entre los lados.
(x + a)0
(x + a)1
(x + a)2
(x + a)3
(x + a)4
(x + a)5
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
… … ... … … … …
Propiedades
1. El desarrollo del binomio (x + a)n tiene (n + 1) términos:
N° de términos = Exponente + 1
Ejemplo:
P(x;a) = (10x + 3a)5 tiene:
5 + 1 = 6 términos
2. Cálculo del término general (tk + 1 = )???)
Sea: P(x;a) = (x + a)n
a. Contado de izquierda a derecha:
Donde: “tk + 1” es el término de lugar (k + 1)
Ejemplo:
En el desarrollo de: P(x;a) = (x2 + a3)6, determine el tercer término.
Solución:
b. Contado de derecha a izquierda:
Ejemplo:
En el desarrollo de P(x;a) = (x3 + a2)5 determine el término de lugar 4 con respecto al final.
Solución:
3. Término central
a. El desarrollo del binomio tendrá un único término central si “n” es par, luego la posición que ocupa este término es:
Ejemplo:
Determinar el término central del desarrollo de:
Solución:
b. Si “n” es impar existen dos términos centrales.
Ejemplo:
Determinar los términos centrales del desarrollo de:
Solución:
Calculamos el primer término central para: n = 7
Calculamos el segundo término central:
4. La sumatoria de coeficientes al desarrollar el binomio:
, se obtendrá si: x = a = 1
Ejemplo:
Hallar la suma de coeficientes del binomio:
Solución:
Para: x = y = 1
de coeficientes =
Ejemplo:
Dado:
Calcular:
Solución:
Luego:
5. Propiedad adicional:
Ejemplo:
Sumar cada uno:
-
-
Fórmula de Leibnitz
Para obtener el desarrollo de un trinomio con exponente natural usaremos la fórmula de Leibnitz:
Donde:
Además: donde la suma se realiza para todos los valores que pueda tomar
Ejemplo:
Halla el coeficiente de “x5” en el desarrollo de:
(a + bx + Cx2)9
Solución:
El
...