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1.1 Problemas matemáticos y sus soluciones.

Un modelo matemático puede definirse como una formulación o una ecuación que expresa las características, esenciales de un sistema físico o proceso en términos matemáticos.

Vd = f (vi, p , f ) (1)

Vd = variable dependiente que refleja el comportamiento o estado del sistema.

Vi = variables independientes como tiempo o espacio a través de las cuales el comportamiento del sistema será determinado.

P = parámetros , son reflejos de las propiedades o la composición del sistema.

f = funciones de fuerza, son influencias externas sobre el sistema.

De la segunda Ley de Newton:

F = ma ; reordenando

f

a = ______ ( 2 )

m

Características de este modelo matemático.

1.- Describe un proceso o sistema natural en términos matemáticos.

2.- Representa una simplificación de la realidad.

3.- Conduce a resultados predecibles.

Otros modelos matemáticos de fenómenos físicos pueden ser mucho más complejos.

De nuevo si usamos la segunda Ley de Newton para determinar la velocidad final o terminal de un cuerpo, tenemos un expresión de aceleración como la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo:

f

dv = _____ ( 3 )

dt m

Para un cuerpo que cae, la fuerza total es:

F = FD + Fu ( 4 )

FD = La atracción hacia abajo debido a la fuerza de la gravedad.

Fu = Fuerza hacia arriba debida a la resistencia del aire,

En donde:

FD = mg

Fu = -cu

c = coeficiente de resistencia o arrastre

Como la fuerza total , es la diferencia entre las fuerzas hacia abajo y las fuerzas hacia arriba, tenemos:

dv = mg - cu ( 7 )

dt m

dv = g - c/m (v) ( 8 )

dt

Esta ecuación es un modelo matemático que relaciona la aceleración de un cuerpo que cae con las fuerzas que actúan sobre él.

Se trata de una ecuación diferencial o ecuaciones diferenciales.

Si las ecuaciones son más complejas, se requiere de técnicas avanzadas para obtener una solución analítica exacta o aproximada.

Si el objeto está en reposo, v = o y t = 0 , y usando las teorías de cálculo, obtenemos:

v(t) = gm/c ( 1 - e-(c/m)t ) ( 9 )

Que es la solución analítica o exacta,

v(t) = variable dependiente

t = es la variable independiente

c,m = parámetros

g = función de la fuerza

Ej. 1.1

Un paracaidista , con una masa de 68.1 kgs salta de un globo aerostático fijo. Con la ayuda de la ecuación ( 9 ), calcule la velocidad antes de abrir el paracaídas, coeficiente de resistencia = 12 kg/seg.

Datos:

m = 68.1

c = 12.5

g = 9.8 m/s

v(t) = gm/c ( 1 - e-(c/m)t )

t,s

v, m/s

0

0

2

16.42

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