CALCULO DIFERENCIAL EN LAS FUNCIONES DE 2 Y 3 VARIABLES

UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN

FACULTAD CIENCIAS

Texto Universitario

CALCULO DIFERENCIAL EN LAS FUNCIONES DE 2 Y 3

 VARIABLES

[pic 1]

Dr. DIONICIO MILTON CHÁVEZ MUÑOZ

 Docente de la  UN/J. Basadre G.

TACNA                                 2020                                PERÚ

CONTENIDO GENERAL.

EL CALCULO DIFERENCIAL EN LAS FUNCIONES DE 2 Y 3 VARIABLES

CAPITULO I                LAS FUNCIONES DE 2 Y 3 VARIABLES

1. DEFINICIÓN DE FUNCIONES DE 2 Y 3 VARIABLES. TIPOS.
2. DOMINIO, IMAGEN. REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
3. OPERACIONES CON FUNCIONES DE 2 Y 3 VARIABLES.
4. CURVAS DE NIVEL EN FUNCIONES DE 2 VARIABLES. APLICACIONES.
5. SUPERFICIES DE NIVEL EN FUNCIONES DE 3 VARIABLES. APLICACIONES
6. LISTA DE EJERCICIOS

CAPITULO II                LIMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS PARCIALES EN LAS FUNCIONES DE N VARIABLES.

1. LIMITE DE UNA FUNCIÓN DE 2 Y 3 VARIABLES.
2. CONTINUIDAD EN UNA FUNCIÓN DE 2 Y 3 VARIABLES.
3. DERIVADAS PARCIALES EN LAS FUNCIONES DE 2 Y 3 VARIABLES.
4. INCREMENTO. DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN DE 2 Y 3 VARIABLES. APLICACIONES.
5. REGLA DE LA CADENA EN FUNCIONES DE 2 Y 3 VARIABLES. DERIVACIÓN IMPLÍCITA.
6. DERIVADAS PARCIALES DE DIFERENTES ÓRDENES.
7. OTROS CASOS DE DERIVADAS PARCIALES.

CAPITULO III                DERIVADAS DIRECCIONALES Y EL GRADIENTE.

1. LA DERIVADA DIRECCIONAL EN FUNCIONES DE 2 Y 3 VARIABLES. TIPOS.
2. GRADIENTE PARA FUNCIONES DE 2 Y 3 VARIABLES. APLICACIONES.
3. PLANO TANGENTE. LOS ELEMENTOS DE UNA SUPERFICIE.

CAPITULO IV                EXTREMOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.

1. EXTREMOS DE FUNCIONES DE 2 Y 3 VARIABLES: MÁXIMOS Y MÍNIMOS.
2. APLICACIONES DIVERSAS.
3. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN.
4. LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE. DIVERSOS CASOS.
5. OPTIMIZACIÓN USANDO MULTIPLICADORES DE LAGRANGE.

CAPITULO I

LAS FUNCIONES DE 2 Y 3 VARIABLES

1.0 INTRODUCCIÓN.

Un ejemplo práctico de funciones de dos variables es el siguiente: Se tiene una plancha de metal de forma circular de 10 pies de radio, la cual tiene una fuente de calor en el centro, si deseamos calcular la temperatura de la plancha en diversos puntos sobre ella, debemos conocer la forma como se distribuye el calor por la plancha, es decir se necesita la regla que rige la distribución del calor sobre ella, además de dotarle a la plancha de un sistema de coordenadas.

Se debe hacer una extensión desde las funciones reales, que ya se conocen:

i) Primeramente ubicar sobre la plancha un sistema de coordenadas cartesianas, podemos decir, que los puntos de medición de la temperatura en la plancha formarán el dominio  de puntos ; como la plancha es de 10 pies de radio, el dominio será un círculo de radio 10 pies, y con centro en el origen de coordenadas, convenientemente.[pic 2][pic 3]

[pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

ii) Supóngase que ha encontrado, experimentalmente (por ensayo y error), que el calor se distribuye con la siguiente ley o regla de correspondencia: .[pic 8]

iii) Entonces la temperatura en el origen será:         =260 – 02 – 02=260 grados.[pic 9]

La temperatura en el punto (10; 0) será:                 =260 – 102 – 02=160 grados.[pic 10]

La temperatura en el punto (–5; 5) será:                 =260 – (–5)2 – 52=210 grados.[pic 11]

La temperatura en la recta  será:                 grados.[pic 12][pic 13]

iv) Todos los valores  de la temperatura formarán la imagen. En este caso la imagen es el intervalo . Notamos que  es el menor valor y  es el mayor valor.[pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

[pic 18]

v) Juntando los conceptos Dominio e Imagen en un mismo esquema se tendrá:

[pic 19][pic 20]

vi) Si además se juntan estos conceptos en un mismo esquema tendremos:

[pic 21]

Se identifican los siguientes elementos de una función de dos variables:

i) La regla de correspondencia que permite medir la temperatura en cualquier punto de la plancha es la función: .[pic 22]

ii) El dominio está dado por los puntos  donde se va a medir la temperatura; es el círculo de radio 10, es decir . Está en el conjunto de partida; es una región del plano.[pic 23][pic 24]

iii) La imagen son todos los valores  que asume la temperatura en esos puntos; es decir es el intervalo:  Está en el conjunto de llegada.[pic 25][pic 26]

iv) La  gráfica es la superficie que se genera con los valores de  en el espacio , es decir el casquete superior de la esfera dada por: . Está en la unión del conjunto de partida y el conjunto de llegada.[pic 27][pic 28][pic 29]

[pic 30]

1.0.1 OBSERVACIÓN. Desde este ejemplo se pueden precisar las definiciones que se necesitan para el estudio de las funciones de 2 variables, luego las de 3 variables y luego las de  variables.[pic 31]

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