Calculo diferencial y optimización de funciones

García García Sandra Jazmín

Sánchez Solórzano Luis Ángel

Economía Empresarial.

Licenciatura en Administración.

TecNM en Celaya.

01/03/20.

Problemario, Unidad 1.

Calculo diferencial y optimización de funciones.

1.- Realice las gráficas de las siguientes funciones.

a) 2/x

2 / (-2) = 0

2 / (-1) = -2

2 / (0) = 0

2 / (1) = 2

2 / (2) = 1

[pic 1]

b) y = X²+4

(-2)² + 4 =- 4+4 = 0

(-1)² + 4 = -2+4 = 2

(0)² + 4 = 0+4 = 4

(2)² + 4 = 4+4 = 8  [pic 2]

[pic 3]

[pic 4]

2. Encuentre la función inversa de las siguientes funciones:

a) y=-2X+4

    Y-4 = 2x        Despeje de x

    Y- 4/2 = x  

    X- 4/2           Intercambio de variables

 f  –1  (x) = x- 4/2

 b) Y=2/X

    Y = 2/X

    Y (X) = 2

    X = 2/ Y

f  –1   (X) = 2/Y

3. Encuentre la solución (X,Y) que resuelve las siguientes funciones simultáneas:

  a) Y = 8-2X

      Y = -8+2X

8-2X= -8+2X

8-2X - 2X =-8

8-4X = -8

4x = -8-8

4x = -16

X= 4

Y= -8+2 (4)

Y= -8+8

Y= 0

b) y= x²

y = x

x2-x = 0

x(x-1) = 0

x = 0    

x-1 = 0

x = 0

x = 1

Y= 0

Y = 1

(X1, Y1) = (0,0)

(X2, Y2) = (1,1)

4.- ¿Cuál es la pendiente de la función Y=3+2X en el punto (2,7)?

f(x) = 3+2x          Se saca derivada de la función.

f (x)= 2

Punto (2,7)

f (2) = 2

m= 2

Ecuación de la recta.

y-y1 = m (x-x1)

Y-7 = 2 (x- 2)

Y-7 = 2x-4

2x+4+y+-7 = 0

2x + y -3 = 0

[pic 5]

Derivación de funciones con una variable dependiente.

5.- Encuentre las derivadas de las siguientes funciones:

a) Y=17

dy/dx = 0

b) Y=3X1/3

dy/dx = 1/3 (3) x1/3 – 1

dy/dx = x-2/3

dy/dx = 1/x2/3

c) Y=X3 X5

y= x (3+5) = x8 –   Suma de exponentes de x.

y = x8 

dy/dx = 8x(8-1)

dy/dx = 8x7

d) Y=X3-5X2+6X+2

dy/dx = x(3)3-1- 5(2)x2-1+6x1-1

dy/dx = 3x2+ 10x+ 6

e)  Y=5e3X

dy/dx= 5e3x.* 3

dy /dx = 15e3x

6.- Encuentre la primera y segunda derivada para cada función:

a) Y=10+2X+5X2-4X3

y = 4x3-5x2-2x-10 – ordenar términos.

Primera derivada.

dy/dx = 4(3)(3-1) – 5(2)(2-1) – 2x(1-1) - 0

y= 12x2-10x-2

Segunda derivada.

y= 12x2-10x-2

dy/dx = 12(2) (2-1)-10x (1-1) - 0

dy/dx = 24x -10

b) Y= (5-3X)4

Primera derivada

dx/dy = 4 (5-3x) (4-1)

dy/dx = 4 (5-3x)3  (5-3x) – se aplica la regla de la cadena.

dy/dx = 4(5-3x)3 = -3    

dy/dx = -12 (5-3x)3  - se realiza la multiplicación final.

Segunda derivada

y = -12 (5-3x)3  

dy/dx = 3(5x-3)2 (5-3x)  - se aplica la regla de la cadena por segunda vez.

dy/dx = (5-3x) = -3

dy/dx = -12 * 3 (5-3x)2 (-3)

dy/dx= 108 ( 5-3x)2

Derivación de funciones con dos variables independientes.

7.- Encuentre las derivadas parciales y el diferencial total para la siguiente función:

Z= x3+y4

2/2z = 2/2z (x3)+ 2/2z (y4)

2/2z (x3) = 3x2

2/2z (y4) = 0

3x2-0

8.- Optimización no registrada de funciones con una variable independiente.  

Para las siguientes funciones encuentre el valor de X que maximiza o minimiza la función Y. Encuentre el valor óptimo de la función y en cada caso use la condición de segundo orden para demostrar que es un máximo o un mínimo.

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