CALCULO DIFERENCIAL

INTRODUCCION

El siguiente trabajo se realiza con el fin de comprender y aplicar las diferentes ecuaciones, relacionadas con la temática de sucesiones y progresiones que son muy útiles para el desarrollo profesional de cualquier labor, ya que nos facilita la información para hallar una decisión lógica, lo cual se puede comparar con la toma de decisiones en nuestra vida profesional a futuro.

Gracias al desarrollo de este trabajo, comprendemos que el cálculo diferencial, es una parte importante del análisis matemático y consiste en el estudio del cambio de las variables dependientes cuando cambian las variables independientes de las funciones o campos objetos del análisis.

El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de diferencial.

El estudiante debe resolver los siguientes ejercicios propuestos:

Resuelva los siguientes límites

Ejercicio No 1

lim┬(X→2)⁡〖(x^2/x^2 (-x-2)/(5x+6))^ 〗= lim┬(X→2) ((x-2)(x+1))/((x-2)(x-3)) = lim┬(X→2) ((x+1))/((x-3)) = lim┬(X→2) ((2+1))/((2-3)) =lim┬(X→2) ((3))/((-1)) = -3

Ejercicio No 2

lim┬(X→0) √(9+X-3)/X = lim┬(X→0) √(9+X+3)/(√9+X+3) = lim┬(X→0) (9+X-9)/( X(√9+X+3)) = lim┬(X→0) 1/( √9+X+3)) = lim┬(X→0) 1/( √9+3))

= lim┬(X→0) 1/( √ 9+3)) = lim┬(X→0) 1/( 3+3) = lim┬(X→0)= 1/( 6)

Ejercicio No 3

lim┬(X→ -2 ) (3- √(x^2+ 5 ))/(3X+6)= (3- √(x^2+ 5 ))/(3X+6)* (3+ √(x^2+ 5 ))/(3+ √(x^2+ 5 ))= lim┬(X→ -2 ) (9-〖x 〗^2-5)/((3x+6) (3+ √(x^2+ 5) ))

= lim┬(X→ -2 ) (-〖(x 〗^2-4))/(3 (x+6) (3+ √(x^2+ 5) ))

= lim┬(X→ -2 ) (-(x+2)(x-2))/(3 (x+2) (3+ √(x^2+ 5) ))

= lim┬(X→ -2 ) (-(x-2))/(3 (3+ √(x^2+ 5) ))

= lim┬(X→ -2 ) (-(-2-2))/(3 (3+ √(〖- 2〗^2+ 5) ))

= lim┬(X→ -2 ) 4/(3 (3+ 3) )= 4/(3*6)= 4/18 = 2/9

Ejercicio No 4

lim┬(h→ 2b ) ((b+h) 2 - b^2)/h= lim┬(h→ 2b ) ((b+2b) 2 - b^2 )/2b= (9 b^2- b^2 )/2b = (8 b^2 )/2b = 4b

Ejercicio No 5

lim┬(x→ 0 ) tan7x/Sen2x=lim┬(x→ 0 ) tan7x/Sen2x= lim┬(x→0)⁡〖tan⁡(7x)/sen(2x) 〗 =lim┬(x→0)⁡〖(sen⁡(7x)/7x)/(sen(2x) cos⁡(7x) )*(7x)〗=

=

lim┬(x→0)⁡〖(sen⁡(7x)/7x)/(sen(2x)/2x cos⁡(7x) )*(7x/2x)〗= lim┬(x→0)⁡〖sen⁡(7x)/(sen(2x) cos⁡(7x) )*(7/2)〗

lim┬(x→0)⁡█((sen⁡(7x)/7x)/(sen(2x)/2x cos⁡(7x) )*7/2=@〖lim⁡〖x→0〗〗┬ 1/1(1) *7/2=7/2)

EJERCICIO N0. 6

lim┬(θ→0)⁡〖(1-cos⁡(θ))/θ〗

lim┬(θ→0)⁡〖(1-cos⁡(θ))/θ〗=(1-1)/0→"forma indeterminada"

Aplicando L’hopital:

lim┬(θ→0)⁡〖(d/dθ (1-cos⁡(θ) ))/(d/dθ (θ) )〗=lim┬(θ→0)⁡〖sen⁡(θ)/1〗=lim┬(θ→0)⁡sen(θ)=sen(0)=0

EJERCICIO No. 7

lim┬(n→∞)⁡〖√(2n^2-3)/(5n+3)〗

lim┬(n→∞)⁡〖√(2n^2-3)/(5n+3)〗=lim┬(n→∞)⁡〖√(2n^2-3)/(5n+3)*n/n〗=lim┬(n→∞)⁡〖(√(2n^2-3)/n)/(((5n+3))/n)〗

lim┬(n→∞)⁡〖√((2n^2)/n^2 -3/n^2 )/(((5n+3))/n)〗=lim┬(n→∞)⁡〖√(2-3/n^2 )/(((5n+3))/n)〗=lim┬(n→∞)⁡〖√(2-3/n^2 )/(5n/n+3/n)〗=√(2-0)/(5+0)=√2/5

EJERCICIO No. 8

lim┬(x→∞)⁡〖{x^3/(4x^3 )}^(x^3/(1-2x^3 )) 〗

lim┬(x→∞)⁡〖{x^3/(4x^3 )}^(x^3/(1-2x^3 )) 〗=lim┬(x→∞)⁡〖{1/4}^(x^3/(1-2x^3 )) 〗=lim┬(x→∞)⁡〖{1/4}^(1/(1/x^3 -(2x^3)/x^3 )) 〗=lim┬(x→∞)⁡〖{1/4}^(1/(1/x^3 -2)) 〗=

(1/4)^(-1/2)=4^(1/2)=2

Ejercicio No. 9

¿Qué valor de n hace que la siguiente función sea continua?

Para que sea continua debe cumplir con:

Como sabemos que la función puede presentar discontinuidad en 3 entonces buscamos la continuidad en ese punto

Igualar para que f(3) sea igual en ambos casos

f(3)=20/3 (3)-5=5→existe

f(3)=lim┬(x→3)⁡15=15

Por lo cual es continua

O_x={█(2 10/3 x-5 x≤3@3x^2-10/3 x-2 x>3)┤

O_x={█(20/3 x-5 x≤3@3x^2-10/3 x-2 x>3)┤

EJERCICIO No. 10

Hallar los valores de a y b para que la siguiente función sea continua:

...