Calculo Diferencial

INDICE

• Calculo diferencial

• Teorema fundamental del calculo

• Derivada

• Diferencial

• Limite

• Función

Introducción

El Cálculo Diferencial e Integral es una herramienta matemática que surgió en el siglo XVII para resolver algunos problemas de geometría y de física. El problema de hallar una recta tangente a la gráfica de una función en un punto dado y la necesidad explicar racionalmente los fenómenos de la astronomía o la relación entre distancia tiempo velocidad y aceleración, estimularon la invención y el desarrollo de los métodos del Cálculo.

Sobresalieron entre sus iniciadores John Wallis, profesor de la Universidad de Oxford e

Isaac Barrow, profesor de Newton en la Universidad de Cambridge, Inglaterra. Pero un método general de diferenciación e integración fue descubierto solo hacia 1665 por el Inglés Isaac Newton y posteriormente por Gottfried Wilhelm Von Leibniz, nacido en Leipziy, Alemania, por lo que a ellos se les atribuye la invención del Cálculo.

En la actualidad el Cálculo se aplica al estudio de problemas de diversas áreas de la actividad humana y de la naturaleza: la economía, la industria, la física, la química, la biología, para determinar los valores máximos y mínimos de funciones, optimizar la producción y las ganancias o minimizar costos de operación y riesgos.

Para abordar estos contenidos es necesario que apliques los conocimientos que adquiriste de álgebra, geometría, trigonometría y geometría analítica. El objetivo de este material es apoyarte para que adquieras el concepto de función derivada, aprendas técnicas para derivar funciones y apliques estos conocimientos en la construcción de gráficas y la solución de problemas a partir de la discusión de situaciones de la vida real, para que obtengas elementos que te permitan estar en condiciones de tomar decisiones acertadas y pronosticar los cambios experimentan dos cantidades relacionadas funcionalmente además de proporcionarte las bases para que accedas al estudio del Cálculo Integral.

Calculo diferencial

El cálculo diferencial estudia los incrementos en las variables. Sean x, y dos variables relacionadas por la ecuación y = f ( x ), en donde la función f expresa la dependencia del valor de y con los valores de x. Por ejemplo, x puede ser tiempo y y la distancia recorrida por un objeto en movimiento en el tiempo x. Un pequeño incremento h en la x, de un valor x 0 a x 0 + h, produce un incremento k en la y que pasa de y 0 = f ( x 0 ) a y 0 + k = f ( x 0 + h ), por lo que k = f ( x 0 +h ) - f ( x 0 ). El cociente k/h representa el incremento medio de la y cuando la x varía de x 0 a x 0 + h. La gráfica de la función y = f ( x ) es una curva en el plano xy y k/h es la pendiente de la recta AB entre los puntos A = ( x 0 , y 0 ) y B = ( x 0 + h, y 0 + k ) en esta curva, en donde h = AC yk = CB, así es que k/h es la tangente del ángulo BAC.

Si h tiende hacia 0, para un x 0 fijo, entonces k/h se aproxima al cambio instantáneo de la y en x 0; geométricamente, B se acerca a A a lo largo de la curva y= f (x), y la recta AB tiende hacia la tangente a la curva, AT , en el punto A. Por esto, k/h tiende hacia la pendiente de la tangente en A. Así, se define la derivada f '(x 0) de la función y = f (x) en x 0 como el límite que toma k/h cuando h tiende hacia cero, lo que se escribe:

Este valor representa la magnitud de la variación de y y la pendiente de la curva en A. Cuando, por ejemplo, x es el tiempo e y es la distancia, la derivada representa la velocidad instantánea. Valores positivos, negativos y nulos de f '( x 0 ) indican que f ( x ) crece, decrece o es estacionaria respectivamente en x 0 . La derivada de una función es a su vez otra función f '( x ) de x, que a veces se escribe como dy/dx, df/dx o Df. Por ejemplo, si y = f ( x ) = x 2 (parábola), entonces:

por lo que k/h = 2 x 0 + h, que tiende hacia 2 x 0 cuando h tiende hacia 0. La pendiente de la curva cuando x = x 0 es por tanto 2 x 0 , y la derivada de f ( x ) = x 2 es f '( x ) = 2 x. De manera similar, la derivada de x m es mx m-1 para una m constante. Las derivadas de las funciones más corrientes son bien conocidas.

Teorema fundamental del cálculo

Este teorema nos dice que toda función continua tiene una antiderivada y nos muestra como construír una usando una integral indefinida. Incluso funciones no diferenciales con esquinas tales como el valor absoluto tienen una antiderivada.

Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a,b] y sea la función F definida por:

Para toda x [a,b]; entonces F es una antiderivada de f en [a,b], esto es:

La derivada

Para calcular la derivada de una función, hay que tener en cuenta que: se debe tomar una h muy pequeña positiva o negativa, pero siempre distinta de cero. No toda función tiene una derivada en todas las x 0, pues k/h puede no tener un límite cuando; por ejemplo, f ( x ) = | x| no tiene derivada en x 0 = 0, pues k/h es 1 o -1 según que h > 0 o h < 0; geométricamente, la curva tiene un vértice y por tanto no tiene tangente, en A = (0,0). Aunque la notación dy/dx sugiere el cociente de dos números dy y dx que indican cambios infinitesimales en y y x, es en realidad un solo número, el límite de k/h cuando ambas cantidades tienden hacia cero.

Diferenciación es el proceso de calcular derivadas. Si una función f se forma al combinar dos funciones u y v, su derivada f ' se puede obtener a partir de u, v y sus respectivas derivadas utilizando reglas sencillas.

Por ejemplo, la derivada de la suma es la suma de las derivadas, es decir, si f = u + v lo que significa que f( x ) = u ( x ) + v ( x ) para todas las x, entonces f ' = u ' + v '. Una regla similar se aplica para la diferencia: (u - v)' = u ' - v '.

Si una función se multiplica por una constante, su derivada queda multiplicada por dicha constante, es decir, ( cu )' = cu ' para cualquier constante c.

Las reglas para productos y cocientes son más complicadas: si f = uv entonces f ' = uv ' + u ' v, y si f = u/v entonces f ' = ( u ' v - uv ')/ v 2 siempre que v ( x ) ? 0.

Utilizando estas reglas se pueden derivar funciones complicadas; por ejemplo, las derivadas de x 2 y x 5 son 2 x y 5 x 4 , por lo que la derivada de la función 3 x 2 - 4 x 5 es (3 x 2 - 4 x 5 )' = (3 x 2 )' - (4 x5 )' = 3•( x 2 )' - 4•( x 5 )' = 3•(2 x ) - 4•(5 x 4 ) = 6 x - 20 x 4

En general, la derivada de un polinomio cualquiera f ( x ) = a 0 + a 1 x + ... + a n x n es f '( x ) = a 1 + 2 a 2 x + ... + na n x n -1 ; como caso particular, la derivada de una función constante es 0. Si y = u ( z ) y z = v ( x ), de manera que y es una función de z y z es una función de x, entonces y = u ( v ( x )), con lo que y es función de x, que se escribe y = f ( x ) donde f es la composición de u y v; la regla de la cadena establece que dy/dx = ( dy/dz )•( dz/dx ), o lo que es lo mismo, f '( x ) = u '( v ( x ))• v '( x ). Por ejemplo, si y = e z en donde e = 2,718... es la constante de la exponenciación, y z = ax donde a es una constante cualquiera, entonces y = e ax ; según la tabla, dy/dz = e z y dz/dx = a, por lo que dy/dx = ae ax .

Diferencial

El diferencial es un objeto matemático que representa la parte principal del cambio en la linealización de una función y = ƒ(x) con respecto a cambios en la variable independiente. El diferencial dy queda definido por la expresión

dy=f′(x)dx

donde f′(x) es la derivada de f con respecto a x, y donde dx es una variable real adicional (de manera que dy es una función de dos variables x, y dx). La notación es tal que la expresión

dy=dydxdx

donde la derivada es representada en la notación de Leibniz dy/dx, se mantiene, y es consistente con respecto a la derivada como el cociente de diferenciales. Así se puede escribir

df(x)=f′(x)dx.

El significado preciso de las variables dy y dx depende del contexto de aplicación y del nivel de rigor matemático requerido. Según consideraciones matemáticas rigurosas modernas, las notaciones dy y dx son simplemente variables reales y son manipuladas como tales. El dominio de estas variables puede tomar un significado geométrico particular si el diferencial es considerado como una forma diferencial, o significado analítico si el diferencial es considerado como una aproximación lineal al incremento de una función. Aplicaciones físicas, a menudo, se requiere que las variables dx y dy sean sumamente pequeñas, estas se denominan infinitesimales.

Limite

Límites procede de la palabra latina limes, que es el genitivo de limitis que puede traducirse como borde o frontera de algo. La división que marca una separación entre dos regiones se conoce como límite. Para la matemática, un límite es una magnitud a la que se acercan progresivamente los términos de una secuencia infinita de magnitudes. Un límite matemático, por lo tanto, expresa la tendencia de una función o de una sucesión mientras sus parámetros se aproximan a un cierto valor. el límite de una función f(x) es T cuando x tiende a s, siempre que se puede hallar

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