CALCULO I INTEGRALES

.Uso de transformadas en la resolución de EDPs 257

17.1. Uso de la transformada de Fourier en la resolución de EDPs . . . . . . . . . . . 257

17.1.1. Ecuación del calor en una barra infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

17.1.2. Ecuación del calor en una barra semi-infinita. Condición en el extremo

de tipo Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

17.1.3. Ecuación del calor en una barra semi-infinita. Condición de Neumann . . 261

17.1.4. Problema de Dirichlet en un semiplano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

17.2. Uso de la transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

17.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

17.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

17.5. Resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

V Apéndices 275

A. Curvas en R3 277

A.1. Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

A.1.1. Reparametrización de curvas regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

A.1.2. Parametrización en longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

A.1.3. Velocidad, rapidez y vector tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

A.2. Complementos sobre curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

A.2.1. Integrales sobre curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

A.2.2. Curvatura y vector normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

A.2.3. Vector binormal y torsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

A.2.4. Fórmulas de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

A.2.5. Planos de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

A.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

A.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

A.5. Resolución de Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

B. Area e integral de superficie 297

B.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

B.2. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

B.3. Resolución de Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

C. Diferencial de volumen 307

ÍNDICE GENERAL xiii

D. Tópicos adicionales en EDPs 311

D.1. Definición de función armónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

D.2. Funciones armónicas conjugadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

D.3. Propiedad de la media y fórmula integral de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . 315

D.4. Propiedad de la media para funciones armónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

D.5. Principio del máximo para funciones armónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

D.6. Principio del máximo para la ecuación del calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

D.7. Unicidad para la ecuación de Laplace y el calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

D.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

D.9. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

D.10.Resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

xiv ÍNDICE GENERAL

Parte I

Cálculo Vectorial

1

Capítulo 1

Elementos de cálculo vectorial

1.1. Campos escalares y vectoriales

Denotamos por Rn el espacio n-dimensional dotado de la norma euclidiana: p k~xk = √~x · ~x =

x21

+ . . . + x2

n. Denotaremos genéricamente por ~x o bien por ~r al vector posición. En R3 y

usando coordenadas cartesianas se escribe ~r = (x, y, z) = xˆı + y ˆ + z ˆk, donde ˆı, ˆ y ˆk es el

triedro correspondiente a la base canónica de R3.

Sea

un abierto no vacío de R3. Llamaremos campo escalar sobre

a toda función a valores

reales f :

→ R. Llamamos grafo de f al conjunto G(f) = {(~x, f(~x)) | ~x ∈

} ⊂ R4. Dado

α ∈ R, se define el conjunto de nivel α de la función f como Nα(f) = {~x ∈

| f(~x) = α} ⊂ R3,

el cual puede ser vacío. Al conjunto de nivel se le conoce como superficie de nivel o bien como

superficie equipotencial.

Llamaremos campo vectorial sobre

...