Calculo De Areas Por Medio De Integral Definida

Calculo de áreas por medio de integral definida

En geometría elemental se deducen fórmulas para las área de muchas figuras planas, pero un poco de reflexión hace ver que raramente se da una definición aceptable de área, el área de una región se define a veces como el número de cuadrados de lado unidad que caben en una región, pero por ejemplo el círculo de radio unidad tiene por área el número irracional pero no está claro cual es el significado de cuadrados.

En general se tiene la percepción intuitiva de que una región contenida dentro de una curva cerrada posee un "área" la cual mide el número de unidades cuadradas dentro de la curva. Las propiedades básicas del área que la intuición sugiere son:

• El área es un número (positivo, dependiente de la elección de la unidad de longitud.

• Este número es el mismo para figuras congruentes.

• Para todos los rectángulos es el producto de las longitudes de los lados adyacentes.

• Para una región descompuesta en secciones el área total es igual a la suma de las áreas de las secciones..

Una consecuencia inmediata es el hecho de que: para una región A que es parte de una región B el área de A no puede ser mayor que el área de B.

Estas propiedades permiten el cálculo directo del área de cualquier figura que pueda ser descompuesta en un número finito de rectángulos. Más generalmente para asignar un valor S al área de una región R (zona azul y roja) consideramos otras dos regiones R’ (inscrita zona azul)) y R’’ (circunscrita, zona azul más roja más amarilla) de áreas S’ y S’’ respectivamente y que se pueden descomponer en rectángulos donde R’’ contiene a R y R’ está contenido en R . Se sabe al menos que S’<S<S’’. El valor de S quedará completamente determinado si se encuentran sucesiones de regiones circunscritas y regiones inscritas que puedan ambas descomponerse en rectángulos y tales que las áreas y tengan el mismo límite cuando n tiende a infinito. Esto es remontándonos a la antigüedad,

El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función que está situada por encima menos el área de la función que está situada por debajo.

Ejemplos

1. Calcular el área limitada por la curva y = x2 -5x + 6 y la recta y = 2x.

En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos funciones para conocer los límites de integración.

De x = 1 a x = 6, la recta queda por encima de la parábola.

Problema del cálculo de un área

Si A es el área buscada se tiene:SD < A < SE

Cuando el número de divisiones del intervalo [a, b] crezca indefinidamente las áreas por defecto (SD) y por exceso (SE) coincidirán y ese valor común será el área encerrada

A ese valor se le llama la integral definida de f en [a, b]. Se escribirá:

Áreas de recintos

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