Calculo Integral. INTEGRALES INMEDIATAS

INSTITUTO DE DIFUSION TECNICA NO. 1[pic 1]

¿Qué es el cálculo?

LUIS ALBERTO CARBONELL REYES

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6°B INFORMATICA T/V

MAESTRO: ARISTEO GARCIA LANDERO

1° de Junio de 2015

INDICE

Introducción

En esta sección, ya con la ayuda del Teorema Fundamental del Cálculo, desarrollaremos las principales técnicas de Integración que nos permitirán encontrar las integrales indefinidas de una clase muy amplia de funciones. En cada uno de los métodos de integración, se presentan ejemplos típicos que van desde los casos más simples, pero ilustrativos, que nos permiten llegar de manera gradual hasta los que tienen un mayor grado de dificultad. Estudiaremos los principales métodos de integración, consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una integral ya conocida, como por ejemplo una de las de la tabla, ó bien reducirla a una integral más sencilla.

Capítulo 1:

Métodos de integración

INTEGRALES INMEDIATAS

En matemáticas resulta de gran importancia desarrollar métodos para evaluar integrales, pues, en general, no es posible aplicar uno que conduzca con seguridad a un resultado. Sin embargo, los presentados en este capítulo pueden considerarse simples mecanizaciones para hallar primitivas de funciones, mismas que permiten, a través del segundo teorema fundamental del cálculo, evaluar ciertas integrales definidas. Se denota a una primitiva de ƒ por ʃ ƒ(x) dx. Así, las definiciones 1 y 2 de la sección mencionada se reducen a escribir

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La tabla de la sección sobre primitivas se escribe, entonces, con algunos agregados, como [pic 4]

Con n entero y distinto de -1.

Para n = -1, tenemos[pic 5]

Con n entero y distinto de -1.

[pic 6]

Con n entero y distinto de -1.

[pic 7]

[pic 8]

INTEGRACION POR PARTES

Recuérdese que la derivada de un producto de dos funciones se evalua así

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De donde

[pic 10]

Si se deriva

,[pic 11]

Se obtiene el miembro derecho así.

[pic 12]

Si se escribe

[pic 13]

Tenemos

[pic 14]

Para simplificar la notación, simplemente se escribe

[pic 15]

Para el caso de integración definida, si  a y b son puntos de un intervalo  donde vale la formula, entonces

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En la práctica, generalmente se trata de calcular la integral de una función ƒ. El método que se analiza será útil si ƒ puede escribirse como un producto del tipo  y si es más sencillo calcular la integral de  que la del primer producto.[pic 17][pic 18]

EJEMPLO:

Calcúlese  [pic 19]

SOLUCION: Hágase  por lo que , de este modo, [pic 20][pic 21][pic 22]

Al aplicar la formula se tiene

[pic 23]

Por último,

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INTEGRACION POR SUSTITUCION  O CAMBIO DE VARIABLE

Esta técnica tiene dos modalidades:

Sustitución directa: Supóngase que se desea encontrar  donde g es continua y h una función cuya derivada h' también es continua. [pic 25]

Se escribe  [por lo que  [pic 26][pic 27]

Atendiendo solo a los símbolos, esas sustituciones nos llevan a escribir

[pic 28]

Donde G (u) es una primitiva de g (u).

La regla de la cadena permite robar que el resultado obtenido es correcto.

En efecto, por dicha regla se tiene

[pic 29]

Y como

[pic 30]

Entonces se concluye que

,[pic 31]

Es decir,

[pic 32]

EJEMPLO

Hállese [pic 33]

Escríbase . De acuerdo a lo anterior, tenemos[pic 34]

[pic 35]

(En este caso,  [pic 36]

Sustitución inversa: Supóngase que desea hallarse , donde ƒ es continúa. En esta modalidad de la sustitución se busca una función  cuya derivada sea continua y no se anule y, además, que la integral sea más sencilla de determinar que . En otras palabras, ahora se escribe  lo cual nos lleva a[pic 37][pic 38][pic 39][pic 40][pic 41]

[pic 42]

Donde H (y) es una primitiva de [pic 43]

De nuevo, la regla de la cadena permite probar que el resultado obtenido es correcto, pues

[pic 44]

Donde Y como[pic 45]

[pic 46]

Entonces

[pic 47]

EJEMPLO

Hállese [pic 48]

Observe que, si no aparece el radical, la integral se simplifica. Esto sugiere la sustitución  Así,[pic 49]

[pic 50]

[pic 51]

INTEGRACION DE FUNCIONES RACIONALES O FRACCIONES PARCIALES

El cociente de dos polinomios se denomina función racional. La derivación de una función racional conduce a una nueva función racional que puede obtenerse por la regla de la derivada de un cociente. Por otra parte, la integración de una función racional puede conducirnos a funciones que no son racionales.

Un polinomio  se dice irreducible o primo si sus únicos divisores son el mismo polinomio y los números reales distintos de cero. Puede probarse que los polinomios irreducibles son únicamente los de la forma  o de la forma  cuando su discriminante es negativo.[pic 52][pic 53][pic 54][pic 55]

EJEMPLO DE FUNCIONES PARCIALES

   [pic 56][pic 57][pic 58]

Ahora se verá que una función racional se expresa como la suma de un polinomio y algunas fracciones parciales, y también cómo se integran estas fracciones parciales.

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