CALCULO VECTORIAL

Introducción

El concepto de vector fue utilizado desde finales del siglo XVII para representar y componer magnitudes con dirección y sentido, como son la fuerza y la velocidad.

A finales del siglo XVIII, Lagrange introdujo las coordenadas, con lo que aritmétizo las magnitudes vectoriales. Joseph Louis Lagrange Gauss utilizó los vectores para representar los números complejos.

Las características de los vectores en el espacio, así como las operaciones, son idénticas a las de los vectores en el plano. Se debe recordar que: Un Vector es un segmento orientado. A los puntos P y Q que definen el vector se les llama respectivamente: “origen” y “extremo” del vector.

Entre 1832 y 1837, Bellavitis desarrolló un álgebra de vectores, equivalente al actual cálculo vectorial. Hamilton, (1805-1865) utiliza por primera vez el nombre del vector.

Finalmente, Grassmann, entre 1844 y 1878, amplió la teoría de vectores, generalizándola a espacios n-dimensionales y definiendo los productos interno y externo de vectores.

Vectores en el espacio.

Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro.

COMPONENTES DE UN VECTOR EN EL ESPACIO

Si las coordenadas de A y B son: A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) Las coordenadas o componentes del vector se obtienen restando a las coordenadas del extremo las del origen.21

EJEMPLO

Determinar la componentes de los vectores que se pueden trazar en el triángulo de vértices A(−3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(−1, 2, 1).

MÓDULO DE UN VECTOR

El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.

El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero.

CÁLCULO DEL MÓDULO CONOCIENDO SUS COMPONENTES

Dados los vectores y , hallar sus módulos

CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR EN EL ESPACIO.

EJEMPLO:

VECTOR UNITARIO

Un vector unitario tiene de módulo la unidad. Normalizar un vector consiste en asociarle otro vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado. Para ello se divide cada componente del vector por su módulo.

VECTOR LIBRE.

Se llama vector libre en el espacio al conjunto de todos los segmentos orientados equipolentes entre sí. El módulo, dirección y sentido del vector libre son los de cualquiera de sus vectores fijos representantes.

APLICACIONES

Los vectores en el espacio son extensamente utilizados en mecánica y otras ramas de la física y la ingeniería, ya que las estructuras que nos rodean requieren de la geometría en las tres dimensiones.

Los vectores de posición en el espacio se usan para posicionar objetos con respecto a un punto de referencia llamado origen O. Por ello también son herramientas necesarias en la navegación, pero eso no es todo.

Las fuerzas que actúan sobre estructuras como pernos, soportes, cables, puntales y más son de naturaleza vectorial y están orientadas en el espacio. Con la finalidad de conocer su efecto, es necesario saber su dirección (y también su punto de aplicación).

Y frecuentemente la dirección de una fuerza se tiene conociendo dos puntos en el espacio que pertenezcan a su línea de acción. De esta forma la fuerza es:

F = F u

Donde F es la magnitud o módulo de la fuerza y u es el vector unitario (de módulo 1) dirigido a lo largo de la línea de acción de F.

Concusión

Referencias

Bedford, 2000. A. Mecánica para Ingeniería: Estática. Addison Wesley. 38-52.

Figueroa, D. Serie: Física para Ciencias e Ingeniería.

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