Cálculo Vectorial

C´alculo Vectorial 1 Cap´ıtulo IV: C´alculo Vectorial

Profesores: Gladys Figueroa Rebolledo, y

Ra´ul Fierro Pradenas.

1. Curvas

Definiciones 1 Sea α : [a, b] → Rn(n = 2 ´o n = 3) una curva continua. Se dice que

(1.1) C es la traza de α, si C = Rec(α).

(1.2) α es cerrada, si α es continua y α(a) = α(b).

(1.3) α es simple, si α es inyectiva.

(1.4) α es de Jordan, si α es cerrada y su restricci´on al subintervalo ]a, b[ es inyectiva.

(1.5) α es suave, si α0es continua.

(1.6) α es seccionalmente suave, si y s´olo si, α0es continua salvo en un n´umero finito de puntos.

Nota 2 En adelante, α denotar´a una curva seccionalmente suave y denotaremos por C su traza.

Definici´on 3 Sean a, b ∈ R3 dos vectores en la traza de α. La logitud de α entre a y

b se define como

L =

Z t1 t0 

kα0(t)k dt,

donde a = α(t0) y b = α(t1). En general, la funci´on longitud de α se define por Z t 

s(t) =

t0 

kα0(u)k du.

Proposici´on 4 Sea α : I → R3 una curva suave y s la funci´on longitud de α. Entonces, para todo t ∈ I, tal que α0(t) 6= (0, 0, 0), (α ◦ s−1)0(s(t)) = α0(t)/kα0(t)k.

2 Figueroa y Fierro

Observaciones 5 La proposici´on precedente indica que la derivada de α respecto de su longitud de arco, es un vector tangente a la curva y de norma 1. Por consiguiente, definiendo T(t) = (α ◦ s−1)0(s(t)) se tiene que T(t) es tangente a la curva en α(t) y adem´as T(t) • T(t) = 1. Si T es derivable en t, entonces T0(t) • T(t) = 0 y por consiguiente T0(t) es ortogonal a T(t). Sea κ(t) = kT0(t)k. Luego, si κ(t) 6= 0, entonces N(t) = T0(t)/κ(t) es un vector normal a la curva y de norma 1. El valor κ(t) se conoce como curvatura de la curva en α(t).

Definiendo B(t) = T(t) × N(t), se tiene entonces que {T(t), N(t), B(t)} es un conjunto ortonormal de vectores en R3, conocido como triedro de Frenet. Adem´as, es f´acil constatar que si B es derivable en t, entonces B0(t) es colineal con N(t). En este caso, el valor τ (t) definido por B0(t) = −τ (t)N(t) se conoce como la torsi´on de la curva en α(t).

Se deja como ejercicio la demostraci´on de la siguiente proposici´on.

Proposici´on 6 (F´ormulas de Frenet.) Sup´ongase que α admite derivadas hasta el tercer orden. Entonces,



T0(t)

N0(t)

B0(t)

Ejercicios propuestos



 =



0 κ(t) 0

−κ(t) 0 τ (t) 0 −τ (t) 0

 



T(t)

N(t)

B(t)



 .

1. Determine el triedro de Frenet, curvatura y torsi´on para la curva α(t) = (cos(at),sen(at), t), (a > 0).

2. Demuestre que B0(t) es colineal con N(t).

3. Demuestre que si α es una recta, entonces κ = 0.

4. Demuestre que α es una curva plana, si y s´olo si, τ = 0.

5. Demuestre que las f´ormulas de Frenet.

6. Demuestre que α es una circunferencia de radio r > 0, si y s´olo si, su curvatura es constante igual a 1/r y su torsi´on es 0.

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