CENTRALES DEL CAP´ITULO

INTERROGANTES CENTRALES DEL CAP´ITULO

• L´ımite de una funci´on • L´ımites laterales • Reglas para el c´alculo de l´ımites • Regla del ‘bocadillo’ • Continuidad de una funci´on • Propiedades de las funciones continuas • Teorema del valor intermedio • Derivada de una funci´on • Interpretaci´on geom´etrica de la derivada • Teorema de Rolle • Teorema del valor medio

• M´aximos y m´ınimos relativos • Polinomios de Taylor • Series de potencias • Teorema de Taylor • Algoritmo de bisecci´on • M´etodo de iteraci´on del punto fijo • M´etodo de Newton-Raphson • Polinomio interpolante de Lagrange • M´etodo de interpolaci´on iterada • M´etodo de diferencias divididas

2. CONTENIDOS FUNDAMENTALES DEL CAP´ITULO

2.1. L´ımite de una funci´on

2.1.1. Definiciones

La noci´on de l´ımite es b´asica en todo el c´alculo, por lo que es sumamente importante adquirir un buen manejo y conocimiento de los l´ımites antes de adentrarnos en otros temas.

Sea f(x) una funci´on y consideremos x0 un n´umero real (no necesariamente en el dominio de f). Si f(x) se acerca arbitrariamente a un ´unico valor L cuando x se aproxima a x0 por ambos lados (sin llegar nunca a ser igual a x0), decimos que el l´ımite de f(x) cuando x tiende a x0 es L, y escribimos

lim x→x0

f(x)=L.

En la definici´on anterior observamos que s´olo interesa conocer c´omo est´a definida la funci´on f cerca del punto

C ´ALCULO DIFERENCIAL 31

x0. Si la funci´on existe o no en el punto x0 no tiene importancia. La cuesti´on crucial aqu´ı es la siguiente: ¿qu´ e significa que f(x) se acerca arbitrariamente a L? ¿qu ´ e ocurre si x se aproxima a x0 s´olo por un lado?

El comportamiento de las funciones en relaci´on a los l´ımites puede ser de lo m´as diverso. S´olo como un bot´on de muestra, veamos las siguientes funciones. f(x)=x/(√x+1−1): El l´ımite de f(x) cuando x → 0 vale 2, ya que si nos acercamos por la izquierda obtenemos valores menores que 2 pero cada vez m´as pr´oximos a 2; y si nos acercamos por la derecha obtenemos valores mayores que 2 pero cada vez m´as pr´oximos a 2. Sin embargo, la funci´on f no est´ a definida en x =0 . f(x)=|x|/x: Cuando nos acercamos a 0 por la izquierda, entonces f(x)=−1 por lo que el l´ımite vale −1. Pero si nos acercamos por la derecha entonces f(x)=1y as ´ ı el l ´ ımite vale 1. Por tanto, no existe el l´ımite.

f(x)=1/x2: Cuando x se aproxima a 0, f(x) se va haciendo cada vez m´as grande, por lo que no existe ning´un n´umero real L al cual tienda f(x). Por tanto no existe el l´ımite de f(x) cuando x →0.

En los ejemplos anteriores hemos visto que hay funciones que se aproximan a un valor L1 cuando x se aproxima a x0 por la izquierda y se aproximan a L2 si nos acercamos por la derecha. Este comportamiento nos lleva a considerar las siguientes definiciones.

Sea f(x) una funci´on y consideremos x0 un n´umero real (no necesariamente en el dominio de f).

(1) Si f(x) se acerca arbitrariamente a un ´unico valor L cuando x se aproxima a x0 por la izquierda (sin llegar nunca a ser igual a x0), decimos que el l´ımite por la izquierda de f(x) cuando x tiende a x0 es L,y escribimos lim x→x0− f(x)=L. (2) Si f(x) se acerca arbitrariamente a un ´unico valor L cuando x se aproxima a x0 por la derecha (sin llegar nunca a ser igual a x0), decimos que el l´ımite por la derecha de f(x) cuando x tiende a x0 es L,y escribimos lim x→x0+ f(x)=L.

Entonces existe el l´ımite de una funci´on f(x) en x0 si existen los l´ımites laterales en x0 y coinciden.

2.1.2. Reglas para el c´alculo de l´ımites

Si b y c son n´umeros reales, n un entero positivo y f, g son funciones que tienen l´ımite cuando x tiende a c, entonces son ciertas las siguientes propiedades:

(1) M´ultiplo escalar: lim x→c

[bf(x)] = b[lim x→c

f(x)]

(2) Suma/Diferencia: lim x→c

[f(x)±g(x)] = lim x→c

f(x)± lim x→c

g(x)

(3) Producto: lim x→c

[f(x)g(x)] = lim x→c

f(x) lim x→c

g(x)

(4) Cociente: lim x→c

[f(x) g(x)

]=

limx→c f(x) limx→c g(x), siempre que limx→c g(x)6=0 .

32 MATEM´ATICAS

(5) Potencia: lim x→c

[f(x)]n = [lim x→c

f(x)]n

(6) Ra´ız: lim x→c

n pf(x)= n qlim x→c

f(x). Sin es par suponemos que lim x→c

f(x) es no negativo.

Para poder calcular l´ımites s´olo es necesario, adem´as de utilizar las reglas anteriores, tener en cuenta que lim x→c

b = b

y lim x→c

x = c.

Como una consecuencia de la aplicaci´on de las propiedades anteriores tenemos las siguientes reglas:

(1) Si p(x) es un polinomio entonces

lim x→c

p(x)=p(c). (2) Si r(x)=p(x)/q(x), q(c)6=0, es una funci´on racional entonces lim x→c p(x) q(x) = p(c) q(c). (3) Si c>0 y n es cualquier entero positivo, o si c<0 y n es un entero positivo impar, entonces

lim x→c

n √x = n √c.

(4) Si f y g son funciones tales que lim x→c

g(x)=L y lim x→L

f(x)=f(L) entonces

lim x→c

f(g(x)) = f(L).

Para finalizar este apartado vamos a enunciar la regla del bocadillo o teorema de intercalaci´on, herramienta muy ´ util que permite calcular l´ımites por comparaci´on.

Regla del Bocadillo. Si f(x) 6 g(x) 6 h(x) para todo x en un intervalo abierto que contiene a c (no importa lo que suceda en c)y lim x→c f(x) = lim x→c h(x)=L, entonces lim x→c g(x)=L.

2.2. Continuidad de una funci´on

El t´ermino continuidad en matem´aticas tiene exactamente el mismo significado que tiene en el lenguaje cotidiano: una funci´on f es continua en un punto a si su gr´afica no se interrumpe en a, no tiene saltos ni huecos en ese punto. La ´unica diferencia que existe es en la formulaci´on rigurosa.

Continuidad en un punto: Una funci´on f es continua en a si se verifican las siguientes condiciones: 1. f(a) est´a definida. 2. lim x→a f(x) existe. 3. lim x→a f(x)=f(a). Continuidad en un intervalo abierto: Una funci´on f se dice continua en un intervalo abierto (b,c) si lo es en todos los puntos de ese intervalo. Si f es continua en toda la recta real (−∞,∞) diremos simplemente que f es una funci´on continua. Se dice que f es discontinua en a si no es continua en dicho punto.

C ´ALCULO DIFERENCIAL 33

Existen varios tipos de discontinuidades: las evitables y lasno evitables. Se dice que una discontinuidad en x = a es evitable si la funci´on f puede hacerse continua en a redefini´endola en dicho punto. En caso contrario, se dir´ a que la discontinuidad es no evitable.

Continuidad por la derecha: Una funci´on f es continua por la derecha en a si se verifican las siguientes condiciones: 1. f(a) est´a definida. 2. lim x→a+ f(x) existe. 3. lim x→a+ f(x)=f(a). Continuidad por la izquierda: Una funci´on f es continua por la izquierda en a si se verifican las siguientes condiciones: 1. f(a) est´a definida. 2. lim x→a− f(x) existe. 3. lim x→a− f(x)=f(a). Continuidad en un intervalo cerrado: Una funci´on f se dice continua en un intervalo cerrado[b,c]si es continua en (b,c) y tambi ´ en es continua por la derecha en b y por la izquierda en c.

2.2.1. Propiedades de las funciones continuas

Teniendo en cuenta que la continuidad se ha definido como un l´ımite, podemos utilizar las propiedades de los l´ ımites para comprobar inmediatamente las siguientes propiedades acerca de la continuidad.

Sean f y g dos funciones continuas en un punto a, entonces tambi´en son continuas en a las siguientes funciones:

(1) Suma y diferencia: f ±g. (2) M´ultiplo escalar: λf, siendo λ un n´umero real.

(3) Producto: fg. (4) Cociente: f/gsiempre que g(a)6=0 .

Listamos a continuaci´on algunos de los tipos m´as comunes de funciones continuas en todo punto de su dominio:

(1) Funciones polin´omicas: p(x)=anxn +an−1xn−1 +···+a1x +a0 (2) Funciones racionales: r(x)=p(x)/q(x), siq(x)6=0 . (3) Funciones radicales: f(x)= n pp(x), sip(x)> 0 cuando n es par.

Uno de los resultados que nos permitir´a combinar las propiedades anteriores para probar la continuidad de funciones m´as complejas es el siguiente: “ Si g es continua en c y f es continua en g(c) entonces la funci ´on compuesta f◦g es continua en c”.

Finalizamos esta secci´on con un teorema relativo al comportamiento de las funciones continuas en un intervalo cerrado, cuya demostraci´on hace uso de la ‘completitud’ de los n´umeros reales.

Teorema del valor intermedio:

Si

f

es una funci ´on continua en

[a,b]

y

k

es cualquier valor entre

f(a)

y

f(b) ,

entonces existe al menos un n ´umero

c ∈[a,b]

tal que

f(c)=k.

El teorema del valor intermedio es ´util para localizar los ceros de una funci´on continua en un intervalo cerrado. M´as concretamente, se tiene el siguiente resultado.

34 MATEM´ATICAS

Teorema de Bolzano:

Si

f

es una funci ´on en

[a,b]

y

f(a) ,

f(b)

difieren de signo, entonces existe al menos un

n ´umero

c ∈[a,b]

tal que

f(c)=0 .

Es

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