CFD - MEF en dos dimensiones

PROBLEMA 2.6 Moaveni

The members of the truss shown in the accompanying figure have a cross-sectional area of  and are made of structural steel (). Using hand calculations, determine the deflection of each joint, the stress in each member, and the reaction forces. Verify your results.[pic 3][pic 1][pic 2]

Al igual que en el ejercicio anterior, el problema se desarrolla a partir de una serie de pasos a seguir, con el fin de resolver y obtener todos los resultados que determine el problema. A continuación, se describen los pasos y los cálculos necesarios. El ejercicio en general fue desarrollado en un libro de Excel.

1. Discretización del dominio de la solución en elementos finitos.

Como en el problema anterior, se considera que cada miembro del entramado se considera un elemento y cada miembro de unión un nodo. Por lo tanto, para el presente ejercicio se considera que tiene siete elementos y cinco nodos. En el libro de Excel se desarrolla la siguiente tabla, donde se muestra el número de elementos y nodos, la posición de cada uno de ellos en el eje  y , la longitud, su inclinación tanto en radianes como en grados, las propiedades mecánicas del elemento y su área:[pic 4][pic 5]

1. Suponer una solución que se aproxime al comportamiento de un elemento.

Al igual que en el ejercicio anterior, se modela el comportamiento elástico de cada elemento como un resorte con una rigidez equivalente . [pic 6]

[pic 7]

Como se observa en la figura del ejercicio, todos los elementos presentan la misma longitud, área transversal y módulo de elasticidad. Por lo tanto, la constante de rigidez equivalente para todos los elementos es:

[pic 8]

1. Desarrollar la ecuación para un elemento.

Para los elementos 1, 3 y 7, los sistemas de coordenadas local y global se encuentran alineados, por lo que se considera que . De acuerdo con la siguiente ecuación, se tiene que:[pic 10][pic 9]

Se determina que las matrices de rigidez para cada elemento son:

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

1. Ensamblar los elementos para presentar todo el problema.

La matriz de rigidez global se construye al ensamblar o sumar las matrices de los elementos individuales. A partir de la siguiente suma:

[pic 18]

Se obtiene la siguiente matriz de rigidez global:[pic 19]

1. Aplicar condiciones de frontera y cargas.

Para el presente ejercicio, se aplican las siguientes condiciones de frontera:

El nodo 1 es fijo, lo que implica que . Además, en el nodo tres solo se restringe el desplazamiento en , por lo tanto, se tiene que . Estas condiciones deben ser aplicadas en la matriz global y aplicar la carga externa en el nodo 2, por lo que . Una vez realizado este procedimiento, da como resultado un conjunto de ecuaciones lineales que deben ser resueltas simultáneamente:[pic 21][pic 22][pic 23][pic 24]

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