CONJUNTOS LOGICA Y LENGUAJE SIMBOLICO

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Cohorte 11°-Aula 8                  

                                                                                                                                                 Proceso 1-2021

CONJUNTOS LOGICA Y LENGUAJE SIMBOLICO

          Profesor:                                                                                   Estudiante:                Eduardo Hinostroza                                                                     Luis Freites  CI: 28.101.602

  Catedra: Matemáticas 

Caracas, Marzo del 2021

Conjuntos.

Un conjunto es la agrupación de diferentes elementos que comparten entre sí características y propiedades semejantes. Los conjuntos pueden tener elementos de cualquier tipo: números, letras, objetos, personas, etc.

A su vez, un conjunto puede convertirse también en un elemento. Por ejemplo: en el caso de un ramo de flores, en principio una flor sería el primer elemento, pero al conjunto de flores se lo puede considerar luego como un ramo de flores, convirtiéndose así, en un nuevo elemento.

Teoría de conjuntos

El concepto de conjunto como objeto abstracto no comenzó a emplearse en matemáticas hasta el siglo XIX, a medida que se despejaban las dudas sobre la noción de infinito. Los trabajos de Bernard Bolzano y Bernhard Riemann ya contenían ideas relacionadas con una visión conjuntista de la matemática. Las contribuciones de Richard Dedekind al álgebra estaban formuladas en términos claramente conjuntistas, que aún prevalecen en la matemática moderna: relaciones de equivalencia, particiones, homomorfismos, etc., y él mismo explicitó las hipótesis y operaciones relativas a conjuntos que necesitó en su trabajo.

La teoría de conjuntos es la rama de la matemática que estudia a los conjuntos. Fue introducida como disciplina por el matemático ruso Georg Cantor, quien definió al conjunto como la colección de elementos finitos o infinitos y lo utilizó para explicar las matemáticas.

Cantor estudió el conjunto de números racionales y naturales y fue revolucionario su descubrimiento de los conjuntos de números infinitos, ya que develó la existencia de infinitos de diferentes tamaños al asegurar que siempre se puede encontrar un infinito mayor.

Los descubrimientos de Cantor no fueron bien recibidos en el ámbito matemático de finales del siglo XIX. Sin embargo, hoy es considerado un visionario en el estudio de lo que él denominó los transfinitos, estudio que contribuyó al de los conjuntos abstractos e infinitos.

Tipos de conjuntos.

A la hora de formar un conjunto, la manera y el porqué de la agrupación de los elementos que lo conforman puede variar dando lugar a diferentes tipos de conjuntos, que pueden ser:

Conjuntos finitos. Sus elementos pueden contarse o enumerarse en su totalidad. Por ejemplo: los meses del año, los días de la semana o los continentes.

Conjunto infinito. Sus elementos no se pueden contar o enumerar en su totalidad, debido a que no tienen fin. Por ejemplo: los números.

Conjunto unitario. Está compuesto por un único elemento. Por ejemplo: La Luna es el único elemento en el conjunto “satélites naturales de la Tierra”.

Conjunto vacío. No presenta ni contiene elementos.

Conjunto homogéneo. Sus elementos presentan una misma clase o categoría.

Conjunto heterogéneo. Sus elementos difieren en clase y categoría.

Respecto a la relación entre conjuntos, pueden ser:

Conjuntos equivalentes. La cantidad de elementos entre dos o más conjuntos es la misma.

Conjuntos iguales. Dos o más conjuntos están compuestos por elementos idénticos.

LOGICA.

Lógica es una ciencia formal que estudia la estructura o formas del pensamiento humano (como proposiciones, conceptos y razonamientos) para establecer leyes y principios válidos para obtener criterios de verdad.

Como adjetivo, 'lógico' o 'lógica' significa que algo sigue las reglas de la lógica y de la razón. Indica también una consecuencia esperable natural o normal.

Se utiliza también para referirse al llamado 'sentido común'. Procede del latín logĭca, y a su vez del griego λογική (logike, 'que posee razón, 'intelectual', 'dialéctico', 'argumentativo'), que a su vez deriva de la palabra λόγος (logos, 'palabra', 'pensamiento', 'razón', 'idea','argumento').

HISTORIA.

La Lógica como ciencia empezó cuando Aristóteles, en el siglo III a.C., se dispuso a estudiar en forma rigurosa y sistemática los razonamientos que los filósofos y matemáticos de la época ya empleaban en forma inconsciente e intuitiva.

La lógica aristotélica era muy limitada. Se ocupaba exclusivamente de un solo tipo de razonamiento, el silogismo. Además, admitía algunas inferencias consideradas hoy inadmisibles.

Los estoicos luego extendieron el rango de razonamientos estudiados por la Lógica al crear el cálculo proposicional, o sea, el razonamiento con oraciones y conectivas. Las conectivas lógicas más comunes son: la disyunción, la conjunción, la negación, el condicional y el bicondicional.

Hoy en día cada conectiva se entiende como una función que toma el valor de verdad de una o más oraciones y devuelve un valor de verdad diferente de acuerdo a una regla. Por ejemplo, una conjunción (dos oraciones unidas por la palabra “y” como en “Está lloviendo y tengo paraguas”) será verdadera solo si ambas oraciones (“Está lloviendo”, “Tengo paraguas”) son verdaderas, de lo contrario es falsa.

Sin embargo, la lógica de los estoicos no tuvo mucha repercusión. En el medioevo hubo también algunos avances, pero lo cierto es que la Lógica permaneció casi igual hasta que el matemático inglés George Boole publicó The Laws of Thought (1854), libro en el que la Lógica se hace simbólica.

Lo que Boole hizo fue crear un álgebra el que cada variable podía adquirir solo dos valores (verdadero o falso), y las operaciones lógicas son representadas mediante operaciones como la suma (disyunción) y la multiplicación (conjunción). A partir de aquí, empezó un proceso en el que las Matemáticas y la Lógica se influenciaron mutuamente en su desarrollo.

Central a este desarrollo fue la doctrina del logicismo en filosofía de las matemáticas, propuesta por Frege y llevada al cénit por Bertrand Russell, Whitehead, Zermelo y Fraenkel. La idea principal es que todas las verdades matemáticas son reducibles a verdades de la lógica. En el fondo, las matemáticas no son más que lógica. Para demostrarlo, Frege se dispuso a definir los conceptos básicos de la aritmética (el concepto de número, por ejemplo) en términos de conceptos lógicos como el de clase, y mostrar cómo todos los teoremas de las matemáticas se pueden derivar de aquellas definiciones utilizando operaciones puramente lógicas.

Para lograr su cometido, Frege ideó un lenguaje perfecto, libre de ambigüedades, y que refleja exclusivamente aquellas estructuras en virtud de las cuales los razonamientos son válidos (la forma). Lo llamó “conceptografía” y es el primer lenguaje formal de la historia. Éste era tan potente que era capaz de representar todos los razonamientos que interesaban a los matemáticos.

Russell encontró una paradoja en el sistema fregeano y desarrolló su teoría de tipos como respuesta al problema hasta que ésta fue desplazada por la teoría de conjuntos ZFC. Si el logicismo tuvo éxito o no es algo que todavía se discute. Algunos argumentan que sí, pues consideran que la axiomatización ZFC de la teoría de conjuntos, sobre la que hoy en día los matemáticos fundamentan todo su edificio, es parte de la lógica. Otros se oponen y ven a la lógica como una rama más de las matemáticas.

En Latinoamérica hubo desde mediados del siglo XX una gran escuela lógica representada por figuras como Gregorio Klimovsky, Francisco Miró Quesada, Carlos E. Alchourrón, Newton Da Costa, Héctor-Heri Castañeda, y otros. Hoy en día, los principales centros son el Buenos Aires Logic Group dirigido por el filósofo Eduardo Barrio de la UBA y la Sociedad Brasilera de Lógica mantenida por la Universidad de Campinas

Tipos de lógicas.

Lógica matematica

Se conoce como lógica matemática, también llamada lógica simbólica, lógica formal, lógica teorética o logística, a la aplicación del pensamiento lógico a determinadas áreas de la matemática y la ciencia.

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