CONSTRUCCIÓN DE UN MODELO MATEMÁTICO PARA EL LANZAMIENTO DE DISCO UTILIZANDO EL MÉTODO DE LAGRANGE

CONSTRUCCIÓN DE UN MODELO MATEMÁTICO PARA EL LANZAMIENTO DE DISCO UTILIZANDO EL MÉTODO DE LAGRANGE

Índice

Introducción:        3

I.        Capítulo        4

1.        Funciones cuadráticas        4

1.1.        Parábola cóncava hacia arriba y hacia abajo        5

1.2.        Polinomio de interpolación (método de Lagrange)        6

II.        Capítulo        9

2.        Puntos de la trayectoria del lanzamiento de disco        9

3.        Conclusión        15

Bibliografía        17

Introducción:

El interés por mi tema de investigación empezó cuando participé en atletismo, específicamente en lanzamiento de disco. Era el primer año que estaba compitiendo en una categoría como esa. Mi mayor distancia en los lanzamientos que había desarrollado era de 20 m. ¿Pero qué podría hacer para obtener una distancia mayor a lla obtenida? Fue allí, cuando me propuse determinar un modelo matemático que me permitiera desarrollar un buen lanzamiento de disco.

Sabiendo que, durante la trayectoria de un objeto, este muestra una  parábola cóncava hacia  abajo, representando una  función cuadrática. Como lo explica  Márquez. W (2009)

En el lanzamiento de disco, los lanzadores proyectan el disco de 1.8 kg de peso, tras girar sobre sí mismos dentro de un pequeño círculo. El lanzamiento se mide desde el borde de éste hasta el lugar de impacto del disco en el suelo y desde el punto donde contactó el disco con el suelo hasta la circunferencia interna del círculo en línea recta.

Es por ello que mi tema de investigación es la construcción de un modelo matemático para el lanzamiento de disco utilizando el método de Lagrange. Para ello se utilizará ciertos conceptos sobre las funciones cuadráticas, que serán pertinentes en el cálculo del mejor lanzamiento, como lo explica Monterey Institute for Technology and Education (2011) “Una aplicación muy común y fácil de entender de una función cuadrática es la trayectoria seguida por objetos lanzados hacia arriba y con cierto ángulo. En estos casos, la parábola representa el camino de lo que se haya lanzado”.

En esta exploración se pretende utilizar solo tres variables: la altura de la trayectoria,  el alcance con la que parte el lanzamiento y por último la altura de la persona que lanzará el objeto. Por dicha razón no se tendrá en cuenta ciertos factores como, el tipo de lanzamiento que se realiza, porque esta no representa completamente una parábola (cóncava hacia abajo); también, la fuerza que tiene cada individuo y con la que parte el disco. Asimismo, por los errores tanto aleatorios y sistemáticos, se decidió utilizar un simulador, que de una u otra forma me permitirá recoger los datos, tanto los valores que toma la abscisa (X), como los valores que toma la ordenada (Y).

Y para utilizar dicho simulador, se necesita algunos datos (La masa del objeto, en ese caso del disco; el ángulo de la parábola, la velocidad inicial, la resistencia al aire y el diámetro del disco). Para finalizar, utilizaré mi altura como el valor inicial del lanzamiento.

1. Capítulo

1. Funciones cuadráticas

Cuando se realizan lanzamientos de algunos objetos, dado un cierto ángulo de inclinación y potencia, estos elementos describen una trayectoria en forma de parábola, las cuales se representan gráficamente mediante funciones cuadráticas de la  forma:

                                               [pic 1]

Teniendo en cuenta que la función tiene un punto máximo, por lo que el valor de  será negativo ():[pic 2][pic 3]

En donde: a, b, c  R[pic 4]

Cabe recalcar, que existen ciertas restricciones para que se realice la aplicación de una función cuadrática, de las cuales, las que más destacan son:

• La  parábola que  describe el  fenómeno debe ser cóncava hacia abajo, por la que a < 0
• Dependiendo de los elementos de la situación, se prioriza el trabajo entre los dos cuadrantes. Esto generalmente sucede cuando se realiza esta aplicación para lanzamientos de objetos que caen sobre una superficie y no a través de ella.

            Cuadro N° 1 Descripción de una parábola cóncava

        [pic 5]

 Adaptado de: www.profesorenlinea.cl/matematica/funcion_cuadratica.html

1. Parábola cóncava hacia arriba y hacia abajo

En primera instancia, se abordará un breve concepto acerca de los tipos de parábolas que existen dentro de las matemáticas (cóncava hacia arriba y hacia abajo); y de acuerdo a esta explicación se procederá a encontrar una función cuadrática cóncava hacia abajo.

[pic 6]

[pic 7]

Fuente: Elaboración propia (mediante el software geogebra, versión 5.0.200.0-3D)

[pic 8][pic 9]

 Fuente: Elaboración propia (mediante el software geogebra, versión 5.0.200.0-3D)

A continuación se mostrará una representación de un lanzamiento de disco dado por un individuo. Lo que se pretende desarrollar es calcular una función cuadrática mediante el uso de la interpolación del teorema de Lagrange en la que se encuentre los datos que se deben de tomar para un óptimo lanzamiento de disco. En este caso, nuestra parábola está compuesta por millones de coordenadas (puntos dados a medida que se desarrolla el lanzamiento). Por lo que, al momento de realizar el lanzamiento por medio del simulador PhET Interactive Simulations, versión 2.03.00 (52266) se tomarán tres puntos para el hallazgo de la parábola.

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