CONTA

Hallar el punto de equilibrio y las pendientes en ese punto de las funciones de Oferta y Demanda : Respectivamente :

Y = (2008 -8x – x^2) / 16 ; y = (1 x^2)/13

Y = (208 -8x – x^2)/16  x=8 ; y = 5

Y = (1 + x^2)/13  -11,5 : y = 10.4

Se tomara únicamente la 1ra solución como punto de equilibrio, ya que : x debería ser positivo.

La pendiente de la demanda en: P(8,5)

Y = (208 -8x – x^2) /16  Y’ = ½ -x/8

Reemplazando x=8  y’(s) = -3/2 <0

La pendiente de la oferta en: P(8,5)

Y= 0 1 + x^2 / 13  y’(8) = 16/13 > 0

Por la interpretación geométrica de la Derivada, una Derivada es una Pendiente es una Razón o relación de Variación Instantánea.

Por tanto en el anterior calculo de las pendiente de las funciones de oferta y Demanda, representan las variaciones instantáneas de los Precios Unitarios (y) con respecto al numero de Unidades (x); exactamente en el instante en que: x = 8.

Tomando en Valor absoluto las Pendientes de la Demanda 3/2 ; de la Oferta 16/13, se aprecia que mayor es la variación de la demanda.

La variación de una cantidad respecto de otra puede ser descrita, mediante un concepto promedio, o un concepto margina.

El concepto Promedio , es la variación de una primera cantidad, respecto a un Intervalo limitado de la Segunda cantidad.

El concepto Marginal, es la variación de una Primera Cantidad, respecto a un intervalo tendiente a Cero de una Segunda Cantidad, es decir se trata de una variación Instantánea.

Comúnmente la primera cantidad es de un concepto Económico (Costo, Ingreso, etc.), La segunda Cantidad es el numero de unidades.

3.1.2 COSTOS

Si el numero de unidades de un bien es . x ; entonces el costo Total puede expresarse como:

A partir de este costo total pueden definirse los siguientes conceptos:

COSTO PROMEDIO:

Cp = C (x) / x = y

COSTO MARGINAL:

Cm = C ‘ (x) = dy / dx

COSTO PROMEDIO MARGINAL:

Cpm = dy /dx = xC’(X) – C(x) / x^2  d/dx * Cp

Ej: Si la función de Costo es Lineal C(x) 0 ax+ b. donde a,b son constantes

Costo Promedio: Cp = C(x) / X = ax+b / x = a + b/x

Costo Marginal: Cm = C’(x) = a

Costo promedio Marginal: Cpm = d/dx Cp = - b/x^2

3.1.3 INGRESOS:

Si el Numero de unidades de un bien es x: Siendo la Función de demanda : y = f(x); donde y es el Precio de la unidad demandada, entonces el Ingreso es:

R(x) = xy = x-f(x)

A partir de esta expresión de ingreso total, se definen los siguientes conceptos:

INGRESO PROMEDIO

Rp = r(x) / x

INGRESO MARGINAL:

Rm = R ‘(x)

Nótese que la expresión de Ingreso promedio carece de mayor importancia puesto que es equivalente a la demanda del bien.

Ejemplo : Una función de Demanda es: Y = 12 – 4x

El Ingreso : R(x) = xy = x(12 -4x)

El Ingreso Marginal: R’ (x) = 12 -8x

Comúnmente se procura maximizar el Ingreso total para ello es suficiente con recurrir a las técnicas de Máximos y mínimos conocidas ( Derivar e igualar a Cero)

Ejemplo: Hallar el Ingreso Marginal y el Ingreso Máximo, que se obtiene de un bien cuya función de demanda es y = 60 -2x

La demanda: y = 60 – ex

El Ingreso: R(x) = xy = x( 60 – 2x) = 60x – 2x^2

El Ingreso Marginal: R’(x) = 60 – 4x

Maximizando la ecuación de Ingreso Total:

Si. R8x) = 60x – 2x^2

R’(x) = 60 – 4x = 0  x=15

Rmax. = 60+15 – 2*15^” = 450

En este problema no se verifica que el Punto Critico hallado mediante la derivada igualada a Cero, determina evidentemente a un máximo ya que se supone de acuerdo las condiciones de cada problema ( de todas maneras la verificación es simple utilizando la segunda derivada)

3.1.4 GANACIAS:

Si x es el numero de Unidades; siendo R(x) el Ingreso Total ; c((x), el costo total; la ganancia entonces es:

G(x) = R(x) – C(x)

Para maximizar la Ganancia de acuerdo a técnicas conocidas se debe derivar e igualar a cero esto significa :

G’ (x) = R’(x) – C’(x) = 0

 r’(x) = C’(x)

Entonces en el máximo de la Ganancia el ingreso Marginal, debe ser igual al Costo Marginal.

Ejemplo

Hallar la ganancia Máxima que se obtiene con determinado bien cuya ecuación de Costo total es: C(x) = 20 + 14x ; La Demanda que posee el bien es: y= 90-2x

El costo total C(x) = 20 + 14x

La Demanda y = 90-2x

El ingreso Total: R(x) xy = x(90-2x)

La Ganancia: G(x) = R(x) – C(x)

= x(90-2x) – (20 +

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