CUADRATURA DE GAUSS-LEGENDRE

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA

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UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA

Licenciatura en Matematicas´

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CUADRATURA DE GAUSS-LEGENDRE

Diego Lepe Castro

Asesor: Fernando Ignacio Becerra Lopez

Indice general´

1. Introduccion´        1

1. Justificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .´        1
2. Objetivos        . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        1

1. Antecedentes        2

1. Antecedentes de integracion definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .´        2
2. Gauss y Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        2

1. Polinomios de Legendre        4

1. Definicion de los polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .´        4
2. Funcion generadora.´        . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        5
3. Formula de Recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .´        7
4. Ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        9

1. Cuadratura gaussiana        11

1. Formula de cuadratura gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .´        11
2. Integral en un intervalo arbitrario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        13

1. Resultados        14

1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        14

1. Conclusiones        15

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Cap´ıtulo 1

Introduccion´

Las integrales numericas ayudan a resolver problemas de integrales definidas que normalmente no se´ pueden resolver de forma anal´ıtica. Los metodos de integraci´ on num´ erica se usan a trav´ es de puntos de´ muestreo y en la cuadratura de Gauss se busca optimizar la toma de estos puntos de manera no igualmente espaciada para mejorar los resultados con una interesante aplicacion de polinomios ortogonales.´

1.1.        Justificacion´

EL analisis num´ erico ha resultado efectivo para resolver aplicaciones con integrales definidas y debido´ a que hay diversas maneras de llegar al resultado es importante encontrar la forma optima para llegar a este.´ El proceso de integracion Cuadratura de Gauss es una mejora al proceso de integracion numerica clasica de´

Cotes.ˆ

1.2.        Objetivos

El objetivo de este proyecto es demostrar el metodo Cuadratura de Gauss para integrales definidas dado´ por:

        Z 1        n

        f(x)dx ≈ Xwif(xi)        (1.1)

        −1        i=1

Tambien se probar´        a que es posible utilizar cualquier intervalo de integraci´        on con el cambi´        o de variable´ apropiado.

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Cap´ıtulo 2

Antecedentes

2.1.        Antecedentes de integracion definida´

Isaac Newton fue el primero en trabajar en un metodo para aproximar una integral, despu´ es fue C´ otesˆ que de manera independiente llego a un resultado similar. Gauss tomando el trabajo de C´        otes y Newtonˆ desarrollo un nuevo m´ etodo usando su trabajo en series hipergeom´ etricas. Muchos han desarrollado m´ etodos´ a partir de lo que Gauss desarrollo, como Christoffel [1877], Radu [1880], entre otros. En este trabajo´ analizaremos el trabajo que hizo Legendre con el metodo de cuadratura gaussiana.´

2.2.        Gauss y Legendre

La relacion de Gauss y Legendre se di´ o a causa de una disputa por la invenci´ on del m´ etodo de m´ ´ınimos cuadrados, ya que fue de manera independiente y casi simultanea que los dos lo descubrieron y con esto el´ metodo de regresi´ on estad´ ´ıstica.

Legendre publico su documento en 1805 antes de que Gauss lo hiciera, quien consider´        o el descubri-´ miento como trivial. Despues Gauss escribi´ o´ ”Nuestro principio, del que hemos hecho uso desde 1795, ultimamente ha sido publicado por Legendre...”.´ El metodo fue atribuido finalmente a Gauss despu´ es de´ demostrar con sus notas que lo hab´ıa usado antes de la publicacion de Legendre.´

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2.2. GAUSS Y LEGENDRE

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Figura 2.1: El unico boceto encontrado del matematico Legendre.

Cap´ıtulo 3

Polinomios de Legendre

El metodo de cuadratura se basa en la aplicaci´ on de polinomios ortogonales. Existen varias familias de´ estos polinomios, me ocupare de los polinomios de Legendre los cuales ser´ an definidos en este cap´ ´ıtulo.

3.1.        Definicion de los polinomios´

Los polinomios de Legendre pueden definirse por la formula de Rodrigues, es decir:

        [pic 4]        n = 0,1,2,...        (3.1)

de esta podemos obtener lo siguiente:

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3.2. FUNCION GENERADORA.´

Se hace el desarrollo binomial para sustituir en (3.1)

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derivando

[pic 6]

de esto obtenemos que

        [pic 7]        (3.2)

        [pic 8]        (3.4)

|t| < 1,|x| ≤ 1

la cual puede escribirse as´ı

(1 − 2xt + t2)−1/2 = [1 − t(2x + t)]−1/2

usando

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donde

[pic 10]

tenemos

[pic 11]

ahora el coeficiente de tn sera llamado an(n), entonces:

[pic 12]

[pic 13]

sustituyendo la identidad

[pic 14]

obtenemos

3.3. FORMULA DE RECURRENCIA´

[pic 15]

Ahora en (3.4) tomamos x = 1

        Pn(1) = 1        (3.5)

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analogamente para x = −1

[pic 17]

ahora al comparar resultados obtenemos

        Pn(−x) = (−1)nPn(x)        (3.6)

es decir, que Pn(x) es par cuando n es par e impar cuando n es impar

3.3.        Formula de Recurrencia´

Para encontrar una formula de recurrencia de los polinomios derivaremos la funci´        on generadora respecto´ de t

...