Ley de Gauss
Enviado por santaldo • 14 de Febrero de 2018 • Documentos de Investigación • 2.489 Palabras (10 Páginas) • 188 Visitas
Ley de Gauss
Ahora que hemos definido el flujo del vector del campo eléctrico a través de una superficie cerrada, podemos hablar de la ley de Gauss. Supóngase que tenemos una colección de cargas positivas y negativas, la cual genera un campo eléctrico en cierta región del espacio. En esta región construimos una superficie imaginaria cerrada, llamada superficie gaussiana, que puede encerrar o no algunas cargas. La ley de Gauss, que relaciona el flujo total a través de esta superficie con la carga neta q encerrada por ella, puede expresarse así[pic 1][pic 2]
[pic 3]
O así
[pic 4]
El círculo en el símbolo de la integral indica que esta debe calcularse sobre una superficie cerrada. Como vimos, la magnitud del campo eléctrico es proporcional al número de líneas del campo que atraviesan un elemento de área perpendicular al campo. La integral de la ecuación explica esencialmente el número de líneas que atraviesan la superficie. Es lógico que ese número sea proporcional a la carga neta encerrada por la superficie, tal como lo exige la ecuación.[pic 5]
La elección de la superficie de Gauss es arbitraria. Suelen escogerse de manera que la simetría de la distribución de, por lo menos en parte de la superficie, un campo eléctrico de magnitud constante que después por factorización se extrae de la ecuación . En tal caso puede aplicarse la ley de Gauss para evaluar el campo eléctrico. [pic 6]
Ley de Gauss y ley de Coulomb
La ley de Coulomb puede deducirse de la de Gauss y de consideraciones de simetrías. Para ello vamos a aplicar la ley de Gauss a una carga puntual positiva y aislada q. Aunque la ley de Gauss es válida con cualquier superficie, tomamos una superficie esférica de radio r centrada en la carga. Esta superficie ofrece la ventaja de que, por simetría. Debe ser perpendicular a la superficie de modo que el ángulo entre y sea cero en toda la superficie más aun, posee la misma magnitud en todas partes de ella.[pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]
y , en cualquier punto de la superficie gaussiana, se dirigen radialmente hacia afuera, por lo cual la magnitud * se convierte simplemente en E dA.[pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]
[pic 16]
Como E posee la misma magnitud en todos los puntos de la esfera, puede factorizarse extrayéndose del símbolo de la integral, lo cual nos da
[pic 17]
La integral es simplemente el área superficial total de la esfera, , así que obtenemos [pic 18]
[pic 19]
o bien
[pic 20]
Aplicaciones de la ley de Gauss
Esta ley sirve para calcular cuando la simetría de una distribución de carga es grande. Un ejemplo de este cálculo es el campo de una carga puntual.[pic 21]
Línea infinita de carga.
Queremos determinar el campo eléctrico a una distancia r de la línea en una superficie cilíndrica. Así pues, el problema presenta simetría cilíndrica y, por lo mismo, como en la superficie gaussiana seleccionamos un cilindro circular de radio r y de longitud h, cerrado en los extremos por tapas planas normales al eje. E es constante en la superficie cilíndrica y perpendicular a ella. El flujo de a través de esta superficie es E(), donde es el área de la superficie. No pasa flujo por las tapas circulares porque aquí es paralelo a la superficie en todos los puntos, de manera que = 0 en todos los puntos de las tapas.[pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]
La carga q encerrada por la superficie gaussiana es λh. Entonces la ley de Gauss nos da
[pic 27]
[pic 28]
O bien
[pic 29]
Hoja infinita de carga.
Una pate de una delgada hoja infinita no conductora cargada con una densidad constante de carga superficial positiva ℺( carga por unidad de superficie). El campo eléctrico lo calculamos en los puntos cercanos a la hoja.
De la simetría se deduce que apunta en ángulos rectos hacia las tapas extremas y alejándose del plano. Dado que no traspasa la superficie cilíndrica, no contribuye al flujo preveniente de la pared curva del cilindro. Suponemos que las tapas extremas equidistan de la hoja. Poe simetría el campo posee la misma magnitud en ellas. El flujo por cada una es EA y positivo en ambas. La ley de Gauss nos da[pic 30][pic 31]
[pic 32][pic 33]
[pic 34]
Donde es la carga encerrada. Al resolver para E obtenemos[pic 35]
[pic 36]
Aunque desde el punto de vista físico no puede existir una hoja infinita con caga: este resultado sigue siendo útil porque la ecuación anterior proporciona resultados aproximadamente correctos de las hojas reales (no infinitas) con carga.
Un cascaron esférico con carga.
Se pueden resumir los teoremas de cascarones para los campos eléctricos así:
- En los puntos externos de un cascaron esférico uniforme con carga se comporta como si toda su carga se concentrase en su centro.
- Un cascaron esférico uniforme con carga no ejerce fuerza eléctrica sobre una partícula con carga colocada dentro del mismo.
Un ejemplo de la aplicación de la ley de Gauss en un cascaron esférico. Al aplicar dicha ley a la superficie , donde r>R, se obtiene [pic 37]
[pic 38]
O bien
(Cascaron esférico, r>R).[pic 39]
En consecuencia, el cascaron de carga uniforme se comporta como una carga puntual en todos los puntos fuera de él. Con ello queda demostrado el primer teorema de los cascarones.
Al aplicar la ley de Gauss a la superficie , donde r
(Cascaron esférico, r
porque esta superficie gaussiana no encierra carga aluna y porque (por otro argumento de simetría) posee el mismo valor en todas las partes de la superficie. Por tanto, el campo eléctrico desaparece dentro de un cascaron uniforme con carga.[pic 42]
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