Calculo Diferencial , Los números Reales

1.1 LA RECTA NUMÉRICA

En la recta numérica se puede representar a todos los reales

como puntos sobre una línea conocida como la recta real.

0 1

El cero se conoce como el origen de la recta y el 1 como la escala. Sobre la recta real se representa los reales positivos, el cero y los reales negativos. Tenemos que: cada punto de la recta corresponde a un número real y cada número real lo podemos representar con un punto de esta recta.

Libro: geometría

Autor: Ana Helvia Quintero

Editorial: Universidad de Puerto Rico

Edición: primera

Pág. 43

Bibliografía: http://es.wikipedia.org/wiki/Recta_num%C3%A9rica

Autor: Wikipedia

1.2 LOS NÚMEROS REALES

Se define al conjunto de los números reales como la unión disjunta de números racionales e irracionales.

DEFINICIÓN DE LOS NÚMEROS RACIONALES:

Se definen como cocientes de los números enteros, con la condición que el denominador sea diferente de cero.

DEFINICIÓN DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES:

Es el conjunto de todos los números que no son racionales. (Expansión decimal finita, no periódica)

Libro: Análisis Matemático

Autor: José Pla Carrera

Editorial: Reverte, S.A.

Edición: Segunda

Pág. 1

Bibliografía: http://definicion.de/numeros-reales/

Autor: Anónimo

1.3 PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

Axiomas de los números reales

Dados dos números reales cualesquiera “x” y “y” se define la suma x + y € ® y el producto “xy € ®” que satisfacen los siguientes axiomas

Axioma 1: Propiedad conmutativa de la suma:

“x + y = y + x”

Axioma 2: Propiedad asociativa de la suma:

“x + (y + z) = (x + y) + z

Axioma 3: Existencia del neutro aditivo:

Existe el 0 € ® tal que “x + 0 = x”

Axioma 4: Existencia de inversos aditivos:

Para todo número real x existe –x € ®, tal que x + (-x) = 0

Axioma 5 : Propiedad conmutativa del producto:

“xy = yx”

Axioma 6: Propiedad asociativa del producto

“x(yz) = (xy)z”

Axioma 7: Existencia del neutro multiplicativo

Existe el 1 € ® tal que x (1) = x

Axioma 8: Existencia de inversos aditivos

Para todo número real distinto a cero x existe x^(-1) € ®,

Axioma 9: Propiedad distributiva

x(y+z)=xy+xz

Todas las propiedades conocidas de los números reales pueden demostrarse a partir de los axiomas anteriores, por esta razón se dice que la teoría de los números reales es una teoría axiomática.

Libro: Análisis Matemático

Autor: José Pla Carrera

Editorial: Reverte, S.A.

Edición: Segunda

Pág. 8

Bibliografía:http://cenevalenlinea.com/estrategias/item/35-propiedades-de-los-numeros-reales.html

Autor: Gladys Gahona

1.3.1 TRICOTOMÍA

La ley de tricotomía nos dice: dados dos números reales cualesquiera uno es mayor que otro o son iguales.

Axioma 10: Ley de tricotomía:

x<y,x=y,x>y.

Axioma 11: Si y<x, entonces y+z<x+z para cualquier z∈ ®

Axioma 12: Si 0<y y 0<x, entonces 0<xy

Libro: Cálculo Diferencial e Integral

Autor: Purcell Varberg Rigdon

Editorial: Pearson

Edición: Novena

Pág. 5

Bibliografía: http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_tricotom%C3%ADa

Autor: Wikipedia

1.3.2 TRANSITIVIDAD

Es una relación binaria sobre un conjunto, es transitiva cuando: Siempre que un elemento se relaciona con otro y este último con el tercero, entonces el primero se relaciona con el tercero.

Axioma 13: Propiedad de transitividad: Si x<y y y<z, entonces x<z

Libro: Cálculo Diferencial e Integral

Autor: Purcell Varberg Rigdon

Editorial: Pearson

Edición: Novena

Pág. 5

Bibliografía: http://mitecnologico.com/igestion/Main/Transitividad

Autor: Anónimo

1.3.3 DENSIDAD

La densidad es una propiedad fundamental de los números reales, según la cual los números reales son densos en naturaleza, o en términos simple, entre dos números reales existe un tercer número real, en todos los casos.

Asimismo la recta numérica permite visualizar que dado dos números racionales siempre es posible encontrar otro comprendido entre los números dados. Esta propiedad es característica

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