Calculo Diferencial

INTERVALOS – DESIGUALDADES – INECUACIONES

INTERVALOS EN LA RECTA REAL

Dados dos números cualesquiera a y b, tales que a < b de la recta real, se define intervalo de extremos a y b al conjunto de los números reales comprendidos entre a y b.

El segmento se llama intervalo.

CLASIFICACIÓN DE LOS INTERVALOS

 Abierto en ambos extremos

En forma de conjunto: =

Representación Gráfica:

 Cerrado en ambos extremos

En forma de conjunto: =

Representación Gráfica:

 Semiabierto por la derecha:

En forma de conjunto: =

Representación Gráfica:

 Semiabierto por la izquierda:

En forma de conjunto: =

Representación Gráfica:

 Abierto por la derecha que se extiende hacia la izquierda:

En forma de conjunto: =

Representación Gráfica:

 Cerrado por la derecha que se extiende hacia la izquierda:

En forma de conjunto: =

Representación Gráfica:

 Abierto por la izquierda que se extiende hacia la derecha:

En forma de conjunto: =

Representación Gráfica:

 Cerrado por la izquierda que se extiende hacia la derecha:

En forma de conjunto: =

Representación Gráfica:

DESIGUALDAD

Es una expresión que indica que una cantidad es mayor o menor que otra, y sus signos son > que se lee mayor que, y < que se lee menor que. 5 > 3 se lee 5 mayor que 3; - 4 < - 2 se lee - 4 menor que - 2.

Una cantidad a es mayor que otra cantidad b cuando la diferencia a - b es positiva. Así, 4 es mayor que - 2 porque la diferencia 4 - (- 2) = 4 + 2 = 6 es positiva; - 1 es mayor que - 3 porque - 1 - (- 3) = - 1 + 3 = 2 es una cantidad positiva.

Una cantidad a es menor que otra cantidad b cuando la diferencia a - b es negativa: así, - 1 es menor que 1 porque la diferencia - 1 - 1 = - 2 es negativa: - 4 es menor que - 3 porque la diferencia - 4 - (- 3) = - 4 + 3 = - 1 negativa.

Según lo anterior, cero es mayor que cualquier cantidad negativa, por lo tanto 0 es mayor que - 1 porque 0 - (- 1) = 0 + 1 = 1, cantidad positiva.

El primer miembro de una desigualdad es la expresión que está a la izquierda y el segundo miembro está a la derecha del signo de desigualdad. En a + b > c - d el primer miembro es a + b y el segundo c - d .

Los términos de una desigualdad son las cantidades separadas de otras por el signo + ó -, o por la cantidad que está sola en un miembro. En la desigualdad anterior los términos son a, b, c y - d .

Dos desigualdades son del mismo signo o subsisten en el mismo sentido cuando sus primeros miembros son mayores o menores que los segundos. De este modo, a > b y c > d son desigualdades del mismo sentido.

Dos desigualdades son de signo contrario o no subsisten en el mismo sentido cuando sus primeros miembros no son mayores o menores que los segundos. Así, 5 > 3 y 1 < 2 son desigualdades de sentido contrario.

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

1) Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta una misma cantidad, el signo de la desigualdad no varía. Dada la desigualdad a > b, se puede escribir:

a + c > b + c y a - c > b - c

En una desigualdad un término cualquiera puede pasar de un miembro al otro cambiándole el signo.

En la desigualdad a > b + c se puede pasar c al primer miembro con signo negativo quedando a - c > b, porque equivale a restar c a los dos miembros.

En la desigualdad a - b > c , se puede pasar b con signo positivo al segundo miembro y quedando a > b + c , porque equivale a sumar b a los dos miembros.

2) Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad positiva, el signo de la desigualdad no varía. Dada la desigualdad a > b y siendo c una cantidad positiva, puede escribirse:

Es posible suprimir denominadores en una desigualdad sin que varíe el signo de la desigualdad, porque ello equivale a multiplicar todos los términos de la desigualdad, o sea sus dos miembros,

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