Calculo Diferencial

APLICACION EN AREAS DEL CONOCIMIENTO:

Aplicación del Calculo Diferencial :

1. Area de Computación o Informática

2. El calculo diferencial tiene un importante campo de aplicación en esta área:

3. Fabricación de chips (obleas de microprocesadores )

4. Miniaturización de componentes internos

5. Administración de las compuertas de los circuitos integrados

6. Compresión y digitalización de imágenes, sonidos y videos.

7. Han coadyuvado a aumentar la inteligencia artificial

8. CALCULO DIFERENCIAL APLICACION EN LA VIDA COTIDIANA

9. EN LA INFORMATICA ESTA MUY REFLEJADA EN EL USO DE APLICACION DE SISTEMAS .

jemplos de aplicacion del calculo diferencial.

Diferenciación y diferenciabilidad:

Usada para determinar el cambio que se produce como resultado de otro

cambio, si está determinada una relación matemática entre dos objetos.

Una función es diferenciable en un punto x si su derivada existe en ese punto; una función es diferenciable en un intervalo si lo es en cada punto x perteneciente al intervalo. Si una función no es continua en c, entonces no puede ser diferenciable en c; sin embargo, aunque una función sea continua en c, puede no ser diferenciable. Es decir, toda función diferenciable en un punto C es continua en C, pero no toda función continua en C es diferenciable en C (como f(x) = |x| es continua pero no diferenciable en x = 0).

Las derivadas se definen como:

Tomando el límite de la pendiente de las rectas secantes conforme se van aproximando a la recta tangente.

Se presenta dificultades para hallar directamente la pendiente de la recta tangente de una función porque sólo conocemos un punto de ésta, el punto donde ha de ser tangente a la función. Por ello, aproximaremos la recta tangente por rectas secantes. Cuando tomemos el límite de las pendientes de las secantes próximas, obtendremos la pendiente de la recta tangente.

Para obtener estas pendientes, tomemos un número arbitrariamente pequeño que llamaremos h. h representa una pequeña variación en x, y puede ser tanto positivo como negativo. La pendiente de la recta entre los puntos (x,f(x)) y (x + h,f(x + h)) es:

Esta expresión es un Cociente Diferencial de Newton:

La derivada de f en x:

Es el límite del valor del cociente diferencial conforme las líneas secantes se acercan más a la tangente:

Si la derivada de f existe en cada punto x, podemos definir la derivada de f como la función cuyo valor en el punto x es la derivada de f en x.

Puesto que la inmediata sustitución de h por 0 da como resultado una división por cero, calcular la derivada directamente puede ser poco intuitivo. Una técnica es simplificar el numerador de modo que la h del denominador pueda ser cancelada. Esto resulta muy sencillo con funciones polinómicas, pero para la mayoría de las funciones resulta demasiado complicado. Afortunadamente, hay reglas generales que facilitan la diferenciación de la mayoría de las funciones descritas.

EJEMPLOS :

Ejemplo 1:

Consideremos la siguiente función:

Entonces:

Esta función es constante, para cualquier punto de su dominio vale 5 (por eso f(x+h)=5). Nótese el último paso, donde h tiende a cero pero nunca lo alcanza. Si pensamos un poco, observaremos que la derivada además de ser la pendiente de la recta tangente a la curva, es a la vez, la recta secante a la misma curva.

Ejemplo 2:

Consideremos la gráfica de: .

Esta recta tiene una pendiente igual a 2.0 en cada punto.

Utilizando el cociente mostrado arriba (junto a los conceptos de límite, secante, y tangente) podremos determinar las pendientes en los puntos 4 y 5:

Entonces:

Y vemos que se cumple para cualquier número n:

Por tanto, se deduce que el valor de la función derivada de una recta es igual a la pendiente de la misma.

El Cociente Diferencial Alternativo:

Ejemplo 3:

La derivada de f(x) (tal como la definió Newton) se describió como el límite, conforme h se aproxima a cero.

Una explicación alternativa de la derivada puede ser interpretada a partir del cociente de Newton.

Si se utiliza la fórmula anterior, la derivada en c es igual al límite conforme h se aproxima a cero de [f(c + h) - f(c)] / h.

Si se deja que h = x - c (por ende c + h = x), entonces x se aproxima a c (conforme h tiende a cero).

Así, la derivada es igual al límite conforme x se aproxima a c, de [f(x) - f(c)] / (x - c).

Esta definición se utiliza para una demostración parcial de la regla de la cadena.

Mediante esta diferenciación, se puede calcular la pendiente de una curva.

Consideremos que:

Entonces:

Para cualquier punto x, la pendiente de la función es .

pues al parecer el calculo deferencial se encuentra inplicito en varias cuestiones de nuestra vida diaria que se mencionan con las palabras “maxima” y “minima”, como por ejemplo: el costo minimo de un producto considerando cierto tiempo, algunos problemas de timpo minimo en los que se menciona el timpo que tarda cada persona y el timpo que tardarian en conjunto esas personas en realizar la misma actividad, voltaje maximo que puede soportar algun aparateo electrico, utilidad maxima de un objeto; como por ejemplo el timpo de vidade las pilas, etc.

Pues lo qu eyo considero que tiene relacion con los conceptos anteriormente mencionados en el texto principal acerca de la aplicacion del calculo diferencial.

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