Calculo Diferencial

4.4 Cálculo de volúmenes.

Volúmenes de sólidos obtenidos por revolución

Cuando una región en el plano rota alrededor de una línea recta tal que a lo suma esta línea es frontera de la región ( no la intersecta) se produce un sólido tridimensional que se llama sólido de revolución .

La recta alrededor de la cual rota la región se llama eje de rotación o de revolución.

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MÉTODO DE DISCOS:

Inicialmente la rotación será alrededor de una de los ejes coordenados

La región limitada por la gráfica de la curva las rectas el eje rota alrededor del eje .

Se hace una partición del intervalo para un subintervalo se toma

Las secciones transversales perpendiculares al eje de rotación son discos circulares de radio . Así el volumen de un disco será de modo que

Al tomar el límite cuando la norma de la partición tiende a cero

Ejemplo 1: Utilizando rotación de una semicircunferencia alrededor del eje se puede verificar

que el volumen de una esfera es

Tomando la parte superior de la circunferencia y haciendo rotar la región limitada por la semicircunferencia y el eje alrededor del eje se obtiene

Ejemplo 2: La región limitada por la curva el origen , la recta el eje rota

alrededor del eje . Encontrar el volumen del sólido obtenido.

Los elementos que van a llevar a la expresión del volumen son perpendiculares al eje .

Al rotar se van a obtener discos cuyo volumen es para con lo cual

MÉTODO DE ARANDELAS:

Cuando se va a rotar una región limitada por dos curvas el sólido de revolución es hueco por dentro, las tajadas perpendiculares al eje de rotación son ahora arandelas o anillos.

Supongamos que tenemos dos curvas cuyas ecuaciones son y tal que las abscisas de sus puntos de intersección son y y que para ; la región limitada por las dos curvas va a rotar alrededor del eje . Las secciones transversales perpendiculares al eje de rotación son anillos acotados por dos círculos; cada anillo tiene un radio exterior y un radio interior , por lo tanto el área de la sección transversal es

A(x)=

y el volumen de cada sección transversal es con lo cual el volumen

Note que el radio exterior dado por la curva es mayor que el radio interior dado por y que la integral planteada proviene de una resta de volúmenes y no del volumen de una resta

Ejemplo 3: Encontrar el volumen del sólido obtenido al rotar la región limitada por y

alrededor del eje

Radio exterior va a estar dado por la curva ( que es la mayor en ordenada )

Radio interior por la curva ( que es la mayor en ordenada )

(unidades cúbicas)

Ejemplo 4:Encontrar el volumen del sólido obtenido al rotar la región limitada por las curvas

y alrededor: del eje alrededor de la recta

Las curvas son las mismas del ejemplo anterior.

Las secciones perpendiculares al eje de rotación son arandelas pero de ancho

El radio exterior corresponde a la mayor abscisa que es la de la curva y como es positiva Por lo tanto el radio interior corresponde a la curva cuyas abscisas son menores en el intervalo. El volumen de un anillo o arandela será

Como los puntos de intersección de las dos curvas son (0,0) y (1,1), los límites de integración en este caso son iguales en o en .

La curva que tiene mayor abscisa es la que determina la parte exterior del sólido y sigue siendo pero el radio ahora es la distancia al eje de rotación

La parte interior la determina la que tiene menor abscisa, siendo la distancia

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