Calculo Vectorial

Definición de un vector en R2, R3 y su Interpretación geométrica.

Vectores en el plano:

R^2 es el conjunto de vectores (x_1,x_2 ) con x_1 y x_2 números reales. Como cualquier punto en el plano se puede escribir en la forma (x,y) es evidente que se puede pensar que cualquier punto en el plano es un vector en R^2 y viceversa, sin embargo para muchas aplicaciones en física es importante pensar en un vector no como un punto sino como una entidad que tiene “longitud” y “dirección”.

Definición geométrica de un vector: El conjunto de todos los segmentos de recta dirigidos equivalentes a un segmento de recta dirigido dado se llama vector. Cualquier segmento de recta en ese conjunto se llama una representación del vector.

Definición algebraica de un vector: un vector v en el plano xy es un par ordenado de números reales (a,b). Los números a y b se llaman elementos o componentes del vector v. El vector cero es el vector (0,0)

Vectores en el espacio:

Cualquier punto en el espacio se puede representar como una terna ordenada de número reales (a,b,c). Para representar un punto en el espacio, se comienza por elegir un punto en R^3. Se llama a este punto el origen, denotado por 0. Después se dibujan tres rectas perpendiculares entre sí, a los que se llaman el eje x, eje y y eje z.

Los tres ejes en nuestro sistema determinan tres planos coordenados, que se llaman plano xy, plano xz y plano yz. Teniendo nuestra estructura construida de ejes coordenados y planos podemos describir cualquier punto en R^3 de una sola manera: P= (x,y,z)

Evidencia 1:

(Línea de tiempo) Hacer una reseña histórica del nacimiento del Cálculo de varias variables, haciendo hincapié en la situación económica, política y cultural del ambiente en el que se desarrolló, así como la cognitiva, en cuanto al requisito particular del ritmo instantáneo de cambio de variables, haciendo notar que en la actualidad las funciones de varias variables tienen muchas aplicaciones ya que se pueden describir fenómenos mediante la interdependencia de varias variables.

Sitios sugeridos:

http://www.uaq.mx/matematicas/c2/

Introducción a los campos escalares y vectoriales.

Muchas cantidades en geometría y física, como el área, el volumen, la temperatura, la masa y el tiempo, se pueden caracterizar por medio de un número real en unidades de medición apropiadas. Estas cantidades se llaman escalares, y al número real se le llama escalar.

Otras cantidades, como la fuerza, la velocidad, y la aceleración tienen magnitud y dirección y no pueden caracterizarse completamente por medio de un solo número real. Para representar estas cantidades se usa un segmento de recta dirigido (PQ) ⃗ cuyo punto inicial es P y el punto final es Q y su longitud (o magnitud) se denota por ‖(PQ) ⃗ ‖.

Definición de un vector en el plano mediante sus componentes:

Si v es un vector en el plano cuyo punto inicial es el origen y cuyo punto final es (v_1,v_2 ), entonces el vector v queda dado mediante sus componentes de la siguiente manera: v=〈v_1,v_2 〉

Las coordenadas v_1,v_2 son las componentes de v. Si el punto inicial y el punto final están en el origen, entonces v es el vector cero y se denota por 0=〈0,0〉

Si P(p_1,p_2 ) y Q(q_1,q_2 ) son los puntos inicial y final de un segmento de recta dirigido, el vector v representado por (PQ) ⃗ , dado mediante sus componentes, es 〈v_1,v_2 〉=〈q_1-p_1,q_2-p_2 〉. La longitud o magnitud de v es:

‖v‖=√(〖q_1-p_1〗^2+〖q_2-p_2〗^2 )= √(v_1^2+v_2^2 )

Si v= 〈v_1,v_2 〉, v puede presentarse puede representarse por el segmento de recta dirigido, en la posición canónica o estándar, que va de P(0,0) a Q(v_1,v_2 ). A la longitud de v se le llama norma de v. Si ‖v‖=1, v es un vecotr unitario

Evidencia 2:

En los siguientes ejercicios se dan los puntos inicial y final de un vector v

Dibujar el segmento de recta dirigido dado.

Expresar el vector mediante sus componentes.

Dibujar el vector con su punto inicial en el origen.

Punto inicial Punto final Punto inicial Punto final

(1,2) (5,5) (2,-6) (3,6)

(10,2) (6,-1) (0,-4) (-5,-1)

La geometría de las operaciones vectoriales.

Operaciones con vectores y sus propiedades.

Definición de la suma de vectores y de la multiplicación por un escalar:

Sean u=〈u_1,u_2 〉 y v=〈v_1,v_2 〉 vectores y sea c un escalar:

La suma vectorial de u y v es el vector u+v=u_1+v_1,u_2+v_2

El múltiplo escalar de c y u es el vector cu=〈〖cu〗_1,〖cu〗_2 〉

El negativo de v es el vector -v=-1v=〈-v_1,〖-v〗_2 〉

La diferencia de u y v es u-v= u+(-v)=u_1-v_1,u_2-v_2

Propiedades de las operaciones con vectores:

Sean u, v y w los vectores en el plano y sean c y d escalares:

u+v=v+u propiedad conmutativa

(u+v)+w=u+(v+w) propiedad asociativa

u+0=u propiedad de la identidad aditiva

u+(-u)=0 propiedad delinverso aditivo

c(du)=(cd)u

(c+d)u=cu+ du propiedad distributiva

c (u+v)=cu+ cv propiedad distributiva

1(u)=u, 0(u)=0

Evidencia 3:

Calcular y dibujar cada uno de los múltiplos escalares de v:

v=〈2,3〉

2v; -3v ; 7/2 v ; 2/3 v

Anotar observaciones.

v=〈-1,5〉

4v; -1/2 v ; 0v ; -6v

Anotar observaciones.

Hallar 2/3 u, v-u, 2u+5v; en forma gráfica y analítica

u=〈4,9〉 ; v=〈2,-5〉

u=〈-3,-8〉 ; v=〈8,25〉

Hallar el vector v donde u=〈2,-1〉 ; w=〈1,2〉

v=2/3 u

v=u+2w

v=u+w

v=5u-3w

Se dan el vector v y su punto inicial. Hallar el punto final.

v= 〈-1,3〉 Punto inicial (4,2)

v= 〈4,-9〉 Punto inicial (3,2)

Encontrar la magnitud de v

v= 〈4,3〉 v= 〈12,-5〉

v= 6i-5j v= -10i+3j

v= 4j v= i-j

Hallar

‖u‖ ; ‖v‖ ; ‖u+v‖ ; ‖u/‖u‖ ‖ ; ‖v/‖v‖ ‖ ; ‖(u+v)/‖u+v‖ ‖

u= 〈4,3〉 ; v= 〈-1,2〉

u= 〈1,1/2〉 ; v= 〈2,3〉

Descomposición vectorial en 3 dimensiones.

Vectores en el espacio:

En el espacio los vectores se denotan mediante ternas ordenadas v=〈v_1,v_2,v_3 〉. El vector cero se denota 0=〈0,0,0〉. Usando los vectores unitarios i=〈1,0,0〉, j=〈0,1,0〉, k=〈0,0,1〉 en la dirección del eje positivo z, la notación empleando los vectores canónicos o estándar para v es:

v=〈v_1 i+v_2 j+ v_3 k〉

Las componentes de v se obtienen restando las coordenadas del punto inicial de las coordenadas del punto final, como sigue:

v= 〈v_1,v_2,v_3 〉=〈q_1-p_1,q_2-p_2,q_3-p_3 〉

Sean u=〈u_1,u_2,u_3 〉 y v=〈v_1,v_2,v_3 〉 vectores en el espacio y sea c un escalar:

Igualdad de vectores: u=v si y solo si u_1=v_1, u_2=v_2 y u_3=v_3

Expresión mediante las componentes: Si v se representa por el segmento de recta dirigido de P(p_1,p_2,p_3 ) a Q(q_1,q_2,q_3 ), entonces

v= 〈v_1,v_2,v_3 〉=〈q_1-p_1,q_2-p_2,q_3-p_3 〉

Longitud:

‖v‖= √(v_1^2+v_2^2+ v_3^2 )

Vector unitario en la dirección de v: v= v/‖v‖ = (1/‖v‖ )〈v_1,v_2,v_3 〉, v≠0

Suma de vectores: v+u=v_1+u_1,v_2+u_2,v_3+u_3

Multiplicación por un escalar: cv=〈〖cv〗_1,〖cv〗_2,〖cv〗_3 〉

Nota: Son válidas las propiedades dadas en vectores en el plano

Dos vectores distintos de cero u y v son paralelos si hay algún escalar c tal que u=cv

Evidencia 4:

Hallar las coordenadas de los puntos mostrados en las figuras.

Hallar las coordenadas del punto

El punto se localiza tres unidades detrás del plano yz, cuatro unidades a la derecha del plano xz y cinco unidades arriba del plano xy.

El punto se localiza siete unidades delante del plano yz, dos unidades a la izuquierda del plano xz y una unidad debajo del plano xy.

El punto se localiza en el eje x, diez unidades delante del plano yz

El punto se localiza en el plano yz, tres unidades a la derecha del plano xz y dos unidades arriba del plano xy.

Hallar las longitudes de los lados del triángulo con los vertices que se indican, y terminar si el triángulo es rectángulo, isosceles o ninguno de ambos.

〈0,0,0〉,〈2,2,1〉,〈2,-4,4〉

〈5,3,4〉,〈7,1,3〉,〈3,5,3〉

〈1,-3,-2〉,〈5,-1,2〉,〈-1,1,2〉

〈5,0,0〉,〈0,2,0〉,〈0,0,-3〉

Hallar las componentes y la magnitud del vector u, dados su punto inicial y final. Después hallar un vector unitario en la dirección de u y graficar (ambos).

Punto inicial Punto final

〈3,2,0〉 〈4,1,6〉

〈4,-5,2〉 〈-1,7.-3〉

〈-4,3,1〉 〈-5,3,0〉

〈1,-2,4〉 〈2,4,-2〉

Se dan los puntos inicial y final de un vector v.

Dibujar el segmento

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