Calculo Vectorial

4º INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VECTORIAL Ejercicios del capítulo:

1. INTRODUCCIÓN

Este capítulo es una revisión condensada de los principales conceptos del cálculo vectorial a modo de repaso de un tema que se supone más o menos conocido por los alumnos. Para aquellos que o no los aprendieron suficientemente o los olvidaron se presenta una bibliografía en donde podrán encontrar estas cuestiones desde el principio. El cáculo vectorial es una herramienta imprescindible para poder desarrollar el Electromagnetismo.

2. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES.

Cuando el resultado del proceso de medición de una magnitud es expresable por medio de un número real, dicha magnitud se denomina escalar. Así por ejemplo la masa, la temperatura, la energía, etc. son escalares. Cuando una magnitud no puede expresarse completamente con sólo un número real, sino que ha de recurrirse para ello a una matriz de n filas y una columna (concepto matemático de vector), estamos ante una magnitud vectorial (o simplemente vector en sentido físico). Así por ejemplo una velocidad no queda completamente determinada dando su valor numérico en la correspondiente unidad, sino que hay que hay que especificar la dirección del movimiento y su sentido, lo que en el espacio euclideo exige representar dicha magnitud por medio de un vector de 3 componentes. Al igual que la velocidad, son magnitudes vectoriales el espacio, la aceleración, la cantidad de movimiento y muchas otras. Aún hay otras magnitudes cuya expresión es más complicada ya que se precisa hacerlo por medio de una matriz rectangular de n filas y m columnas; son las magnitudes tensoriales, que en el nivel de este curso no serán consideradas.

3. OPERACIONES CON VECTORES (forma gráfica).

Un vector tiene en general n componentes que corresponden a las n filas de la matriz, sin embargo las magnitudes que vamos a manejar en los temas correspondientes a este curso de Física General, únicamente exigirán 3 componentes como máximo y 2 en casos particulares (un vector de una sola componente sería un escalar, como un tensor de una sola columna es un vector). Es frecuente y resulta muy intuitivo representar los vectores en forma gráfica, por medio de una flecha, cuya longitud representa el módulo o valor absoluto de la magnitud, la recta en la que está contenida la flecha sería la dirección y la cabeza de la flecha indicaría el sentido. A partir de ahora adoptaremos el criterio de representar los vectores en la escritura por medio de letras, en negrita e itálica (por ejemplo l). El módulo de l se representará por l o por .

3.1 Producto de un escalar por un vector.

Dado un vector v y un escalar m, definimos otro vector v' así:

v' = m v (4.1)

v' es un vector de la misma dirección que v y de módulo mv. El sentido de v' será el mismo que el de v, si m>0 y el contrario, si m<0.

No está definido el cociente por un vector.

3.2 Suma de vectores.

Dados 2 vectores a y b, se define un vector c, suma de a + b de la forma que vemos en la Fig. 1:

La suma posee evidentemente la propiedad conmutativa (Fig. 1):

a + b = b + a (4.2)

y también la propiedad asociativa (Fig. 2):

(a + b)+c = a+(b + a) (4.3)

Diferencia:

c = a-b  c+b=a (4.4)

3.3 Vector nulo.

Se dice que  es un vector nulo cuando su módulo es cero. Dado un vector cualquiera a, se verifica que a +  = a.

3.4 Relación lineal entre vectores.

Dados n vectores v1 , v2 , ... ,vn , y n escalares m1, m2, ... , mn, la expresión

m1 v1+m2 v2+........+mi vi =  (4.5)

significa que entre los vectores v1 , v2 ,........, vi existe una relación lineal. Si, por ejemplo, tenemos 3 vectores en un espacio tridimensional y se verifica:

m1 v1+m2 v2+m3v3 = 0 (4.6)

(4.7)

y por lo tanto v1, v2 , v3 están en un plano.

3.5 Producto escalar de dos vectores.

Dados 2 vectores v y v' no nulos, el producto escalar se define como un escalar tal que:v.v' = xx' + yy' + zz' (4.8)

v.v' = v.v' cos  (4.9)

El producto escalar tiene la propiedad conmutativa, es decir, v.v' = v'.v , como es fácil comprobar (4.8) y (4.9). Igualmente el producto escalar tiene la propiedad distributiva respecto de la suma: v.(a + b) = v.a + v.b, como puede comprobarse fácilmente.

3.6 Producto vectorial de dos vectores.

Dados 2 vectores v y v', el producto vectorial se define como un vector u = v x v' tal que su dirección será la de una recta perpendicular a ambos vectores v y v', o sea, al plano vv', y su sentido se determina por la regla del sacacorchos o de la mano derecha (ver Fig. 4 y Fig. 5). El módulo del producto vectorial es

u = v.v´ sen  (4.10)

que corresponde geométricamente al área del paralelogramo de la figura 5.

El producto vectorial no tiene propiedad conmutativa, como puede comprobarse a partir de la (4.10):

v x v' = - (v' x v) (4.11)

3.7 Producto mixto de tres vectores.

Dados 3 vectores no coplanarios v, a y b, se define como v (a x b). El resultado es un escalar cuya interpretación geométrica es sencilla:

v (a x b) = v (a b sen  ) cos  (4.12)

pero (a b sen  ) es el área de la base del paralelepípedo de la figura 6 y (v cos  ) es la altura de dicho paralelepípedo; luego v (a x b) es el volumen del mismo. Por

consiguiente el producto mixto es conmutativo. Si los 3 vectores son

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