Calculo Vectorial

Calculo vectorial..5.1

ntroducción a la Integración

La integración es un método para la obtención deuna función o un valor cuyo diferencial sea equivalente a la misma función.

Esto significa que si la función dada es f(x), mediante integrarla obtendríamos g(x).

Ahora bien, si g ‘(x) es el diferencial de la función g(x) entonces g’ (x) y f (x) son la misma función en sí.

El proceso de integración es el inverso de la diferenciación.

El símbolo se utiliza para denotar la función de integración.

Sea f(x) el coeficiente diferencial de una función F(x) con respecto a x entonces,

O,

Tomando la sumatoria de todas las diferenciales obtenemos,

dy = f(x) dx = d [F(x)]

O,

y = f(x) dx = F(x)

Cuando dx tiende hacia cero, la sumatoria es sustituida con la integral. Entonces, y = f(x) dx = F(x)

Aquí f(x) dx es leída como la integral def(x) dx. En la ecuación anterior, f(x) es llamada integrando y F(x) es llamada la integral o función primitiva de f(x).

Además la integración de f(x) con respecto a x es F(x).

Es importante tener en cuenta que el signo se utiliza para la sumatoria de valores discretos, mientras que se utiliza para la sumatoria de funciones continuas.

Esto significa que el método de integración se utiliza para sumar el efecto de una función que varía continuamente, por ejemplo, el trabajo hecho en contra de una fuerza variable.

Es de notar que el álgebra ordinaria no proporciona algún método para sumar el efecto de una función que varíe.

La integración es de dostipos, integración indefinida e la integración definida.

Cuando una función es integrada dentro de los límites definidos, la integral se denomina integral definida.

Por ejemplo, .

f(x) dx es la integral definida de f(x) entre los límites a y b y es escrita como,

f(x) dx = F(x) = F(b) – F(a)

Aquí a se llamalímite inferior y b se llama límite superior de integración.

Si una función está dada por y = + C, donde C es una constante de integración entonces, dy/ dx = d(5×5 + C)/ dx = 25×4 + 0 = 25×4

Como la integración es el proceso inverso de la diferenciación, por tanto 25×4 dx = 5×5.

Esto significa que durante la integración la constante no aparece.

Esto es debido al hecho de que el coeficiente diferencial de una constante es cero.

Por tanto, no podemos decir con certeza si es 25×4 dx = 5×5 o 5×5 + C.

Dicha integración se conoce como integración indefinida. Por consiguiente en todas las integrales indefinidas, se supone que está presenteuna constante de integración C, si la condición de integración, esto es, el límite de integración no es mencionado.

Es por esto que debemos añadir una constante C en el resultado de todas las integrales indefinidas.

Vamos ahora a resolver un ejemplo con los dos métodos para entender la diferencia entre ambos.

27 p2 (p3 + 2)8 dx

El ejemplo anterior no contiene límites de integración y por tanto es una integral indefinida.

27 p2 (p3 + 2)8 dx (p3 + 2)9 + C

Ahora bien, si ponemos los límites de la integración como,

27 p2 (p3 + 2)8 dx

(p3 + 2)9

(33 + 2)9 - (23 + 2)9

= 381957187929

5.2…

INTEGRAL DE LÍNEA

La integración de línea es la técnica de integración para una función a lo largo de una curva dada.

También es conocida por los nombresde integral de contorno, integral de trayectoria, curva integral etc.

Aquí uno podría confundir la integral de línea y el cálculo de la longitud de un arco con la ayuda de la integración.

Ambos, los campos escalares así como los vectoriales pueden ser integradosutilizando este método.

Una integración de línea de tales campos produciría una sumatoria de valores de campo para cada punto de la curva dada que se encuentra en el campo.

Por ejemplo, asuma que la fuerza F actúa sobre una partícula y haga que se mueva sobre la trayectoria AB como se muestra a continuación.

Esto implica que el trabajo total realizado por la fuerza F en el movimiento de la partícula a lo largo de una distancia pequeña s será,

W = F. s

De manera similar, para determinar el trabajo completo realizado por la fuerza F para mover la partícula a lo largo de toda la trayectoria se calculará la suma de todas las piezas pequeñas de trabajo realizado. Esto se hace mediante la integración, por supuesto como,

Aquí es importante notar que en lugar de escribir los límites de integración, sólo el nombre de la trayectoria está escrito en el subíndice.

Esto significa que la integración se está efectuando a lo largo de una trayectoria AB.

Este es un enfoque de integración totalmente diferente, dado que aquí la variable está siendo integrada con respecto a la función, y no se está incrementando a lo largo de una trayectoria recta, sino que es curva.

Por esta razón en particular, esta integral es reescrita en la forma de sus coordenadas

...