Calculo Vectorial

4.4 LÍMITES Y CONTINUIDAD

Definición de límite de una función de dos variables.

Sea una función de dos variables cuyo dominio incluye puntos arbitrariamente cercanos a

Entonces decimos que el límite de cuando se aproxima a es y escribimos:

Ejemplos:

Encuentre el límite, si existe, o demuestre que el límite no existe.

2.-

3.- )= = =

4.-

5.-

CONTINUIDAD

Una función de dos variables se denomina continua en si:

=

Ejemplos:

1.- ¿ en donde es continua la función =

2.-

(2, 1)

3.- 1

) (0, 0)

4.5 DEFINICION DE DERIVADAS PARCIALES, DE FUNCIONES DE 2 VARIABLES, ASI COMO SU INTERPRETACION GEOMETRICA

Si , las primeras derivadas de respecto de , y son las funciones

definidas como:

Siempre que el límite existe.

Ejemplo:

1) Encuentre la derivada parcial de la función

SOLUCION:

1.- se deriva con respecto a la primera variable independiente, de tal forma que la segunda variable dependiente es considerada como constante.

2.- se deriva con respecto a la segunda variable, considerando a la primera como una constante.

3.- ahora utilizaremos el operador de derivación parcial en el mismo ejercicio; el cual es

Donde:

=operador de derivación parcial = función a la que se aplica = indica con respecto a que variable se esta derivando

Por lo que:

2) Encuentre las derivadas parciales de la función

3) Si encuentre

4) Si encuentre e

5) hallar evaluarlas en (1, )

4.6 DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Tal como sucedía para las derivadas ordinarias es posible hallar las segundas derivadas parciales, terceras o de orden más alto, supuesto que existan.se denota por el orden en el que se van efectuando las derivaciones. Por ejemplo, la función tienen las siguientes derivadas parciales de segundo orden.

1.- derivar 2 veces respecto a x

2.- derivar 2 veces respecto a y

3.- derivar primero respecto y luego respecto a

4.- derivar primero respecto a , después respecto a

La tercera y la cuarta se llaman derivadas parciales cruzadas (o mixtas).

EJEMPLO:

Hallar las derivadas parciales de segundo orden de

Verifique las derivadas parciales cruzadas , e son iguales:

4.7.- INGREMENTOS, DIFERENCIALES Y REGLA DE LA CADENA

En este tema generalizamos a las funciones de variables bajo las nociones de incremento diferencial.

Del curso anterior matemáticas II sabemos que una diferencial se calcula a partir de:

En este curso sabemos que , es una notación para representar las funciones de de dos variables, entonces el incremento de viene dado por:

Si , y son incrementos de y , las diferenciales de las variables

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