Campos Vectoriales

RESUMEN

Tema: Campos vectoriales, Trabajo, Circulación y Flujo

Definición de campo vectorial:

• Físicamente un campo vectorial representa la distribución espacial de una magnitud vectorial.

• Matemáticamente se define un campo vectorial como una función vectorial de las coordenadas o como un caso especial de una transformación no necesariamente lineal. , en donde representa el espacio vectorial que hace las veces de dominio y el espacio vectorial que actúa como rango.

El campo ilustrado en la ecuación anterior es un campo vectorial , dado que la función vectorial tiene tres componentes y cada componente es una función de tres variables independientes.

Ejemplos de campos vectoriales son las funciones de velocidad asociadas a las trayectorias de las partículas o diferenciales de volumen de una sustancia en condiciones de flujo bien sea laminar o turbulento, distribución de fuerzas de naturaleza electromagnética o gravitatoria en el espacio, etc.

El gradiente de un campo escalar, constituye un ejemplo adicional de campo vectorial, dado que la magnitud y dirección del gradiente de un campo escalar es una función de las coordenadas.

Representación de un campo vectorial:

• Líneas de fuerza

La representación de los campos vectoriales se hace mediante mapas semejantes a los de los campos escalares, pero usando líneas que representan la continuidad de la orientación de los vectores de campo sobre una región definida. Estas líneas reciben el nombre de líneas de fuerza.

Al igual que con los campos escalares, un campo vectorial no puede representarse fácilmente en tres dimensiones, por lo que normalmente se hacen proyecciones sobre los planos directores del sistema de coordenadas.

Campo vectorial de .

Las líneas de fuerza cumplen con las siguientes propiedades:

1. Los vectores de campo en cualquier punto son siempre tangenciales a la línea de fuerza que pasa por el punto dado.

2. Las líneas de fuerza no se cruzan en ningún punto aunque pueden seguir trayectorias cerradas .

3. La cantidad de líneas de fuerza en cualquier porción del espacio en que se encuentra definido el campo es proporcional a la intensidad del campo vectorial.

En algunas otras ocasiones, la representación de campos vectoriales se hace a través de los vectores de campo directamente. En estos casos, la intensidad del campo vectorial se asocia a la densidad de vectores de campo en una región, tanto como a la longitud de los mismos.

Trazado de las líneas de fuerza de un campo vectorial:

• De acuerdo con la definición de línea de fuerza, una línea de fuerza es tangente a los vectores de campo en todos los puntos del espacio vectorial definido.

Fig. Relación entre los vectores de campo y la recta tangente a la curva en una línea de fuerza.

Se observa claramente que el vector de campo tiene la misma dirección de la recta tangente a la línea de fuerza en el punto de tangencia.

En este caso, el vector de campo tiene dos componentes denominados y respectivamente; resulta entonces que la relación entre las componentes del vector da como resultado la pendiente de la recta tangente a la línea de fuerza en cada punto de tangencia.

Dado que la pendiente de la recta tangente es la derivada de la curva, se puede entonces proponer una igualdad definida por:

La familia de soluciones

...