Campos Vectoriales

Universidad Santa María.

Núcleo Oriente.

Facultad de Ingeniería.

Cátedra: Matemáticas IV.

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Integrales de Líneas y Superficies.

              Profesor:                   Alumno:

       Marlin Rodríguez.               Gómez, María. C.I 27.181.727.  

Puerto La Cruz, Febrero 2021.

INTRODUCCIÓN 

Un campo vectorial, es una función que asocia a cada punto del plano o del espacio un vector. Un ejemplo de campo vectorial sería la velocidad del viento en cada punto de la tierra. Dicha velocidad se expresa no solo con su valor, sino con la dirección en la que sopla el viento.

Los campos vectoriales son uno de los conceptos fundamentales de la física y matemática. Sin ellos es imposible entender el electromagnetismo, la óptica, o ramas más avanzadas de la física como la gravitación o la mecánica cuántica. Estudiar desde su simbología hasta los medios matemáticos para su desarrollo y cálculo es de gran importancia.

CAMPOS VECTORIALES 

Def. Sean M y N funciones de x y y definidas en la región plana R. La función [pic 2]definida por: [pic 3] se llama Campo Vectorial sobre R.  

Si M, N y P son funciones de x, y, z definidas sobre una región sólida Q del espacio,  [pic 4] se llama Campo Vectorial sobre Q. 

Por ejemplo, el gradiente de f (x, y, z) es un Campo Vectorial.  

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También se pueden mencionar algunos ejemplos físicos comunes de campos vectoriales, tales como:

• Los campos de velocidades.

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• Los campos de fuerzas eléctricas.

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DIVERGENCIA Y ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL 

Son dos operaciones que se pueden llevar a cabo sobre campos vectoriales y que desempeñan un papel muy importante en las aplicaciones del campo vectorial. Cada operación recuerda a la derivación, por eso son también llamadas derivadas de un campo vectorial, pero una da como resultado un campo escalar llamado divergencia y la otra produce un campo vectorial llamado rotor.

• Divergencia de un campo vectorial:

Sea F (x, y, z) = M (x, y, z) i + N (x, y, z) j + P (x, y, z) k un campo vectorial definido en R3 Para el que existen  [pic 9]

Entonces Div.F [pic 10]

Si el campo vectorial está definido en R2: Div F=   [pic 11]        campo escalar.

Una forma sencilla para obtener la divergencia, es expresarla como un producto escalar de vectores, para ello tenemos en cuenta el operador nabla [pic 12]

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Ejemplo: 

Calcule la divergencia de F (x, y, z) = ex zsenyi + ex zcosyj + x2 y2 z2 k

         [pic 14]

• Rotacional de un campo vectorial: 

Se define en R3 como:   [pic 15]

Podemos escribir el rotor como un producto vectorial:  

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Ejemplo: 

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INTEGRALES DE LÍNEA Y CURVILÍNEAS 

Una integral de línea es aquella cuya función a integrar es valuada sobre una curva. Para evaluar una integral de línea es útil convertirla en una integral definida. Puede demostrarse que, si f es continua, el límite dado arriba existe y es el mismo para todas las parametrizaciones suaves de C.

Curva Suave: Si C es una curva dada son continuas y no se anulan simultáneamente entonces C es suave. La curva C es suave a trozo si el intervalo [a, b] se divide en un número infinito de intervalo donde C es también suave. [pic 18]

Def. Si f está definida en una región abierta que contiene una curva suave C, de longitud finita, entonces la integral de Línea de f a lo largo de C, se define por:  

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Si el límite existe  

La Integral de Línea se evalúa como una integral definida, esto se logra si C es continua. Si

C está dada por:   [pic 20] entonces:  [pic 21]

Donde  [pic 22]

• Integral de línea de campos vectoriales:

Sea un Campo Vectorial, continuo sobre una curva suave C, dada por: donde La integral de Línea de  sobre C se define [pic 23]

por:  

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