Cantidades físicas y vectoriales

Cantidades físicas vectoriales

Cantidades físicas

Escalares        Son los números reales

Son puntos en el[pic 1]

Vectores

espacio tridimensional

Sean los vectores

Algebra de los vectores

a↼ = (a  ,a  ,a  ) , b = (b  , b  , b  ) y c = (c  ,c  ,c  ), y sean k y l escalares.[pic 2]

Se les llama componentes del vector 𝐚⃑` a las coordenadas  𝑎𝑥, 𝑎𝑦  𝑦 𝑎𝑧   que lo definen.

Definimos la magnitud del vector

a↼ = (a  ,a  ,a  ) como el escalar

a = a↼ =[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]

[pic 7]

Llamamos unitario a un vector que tiene magnitud igual a uno. A los vectores unitarios los podemos denotar con el símbolo circunflejo en lugar de la flecha arriba; es decir, si 𝐚⃑` es un vector unitario |𝐚⃑` | = 1, entonces podemos escribirlo como 𝐚̂.

Suma de vectores

Definimos la suma de los vectores a y b como el vector

a↼ + b = (a   + b  ,a   + b  ,a  + b  )[pic 8]

Por ejemplo, en dos dimensiones la suma de dos vectores se puede ver de manera gráfica.

[pic 9]

Por lo tanto, se cumple que

a↼ +b = b + a↼

a↼ +(b + c↼) = (a↼ + b) + c↼

conmutatividad asociatividad

Producto de un escalar por un vector

Se define el producto de un vector a por un escalar k como el vector

ka = (kax , kay , kaz )

Por lo tanto, se cumple que

ka = ak

k(la) = (kl)a

conmutatividad asociatividad

(k + l)a = ka + la        distributividad respecto de la suma escalar

k(a↼ + b) = ka↼ + kb

distributividad respecto de la suma vectorial

Decimos que dos vectores a y b son paralelos si existe un escalar positivo k, tal que

𝐚⃑` = 𝑘`𝐛.

Definimos los vectores de la base en el sistema de coordenadas cartesianas como

‸i = (1,0,0) , ‸j = (0,1,0) y k‸ = (0,0,1)

estos vectores son unitarios y son perpendiculares entre si.

Por lo tanto, cualquier vector a↼ = (a  ,a  ,a  ) se puede expresar, en términos de los vectores básicos, como[pic 10]

a↼ = a  ‸i + a  ‸j + a  k‸[pic 11]

Producto escalar o producto interno

Definimos el producto escalar o producto interno de los vectores a y b como el escalar

ab cosθ

donde θ es el ángulo formado por los vectores a y b (los vectores forman dos ángulos, θ es el menor de ellos).

El producto escalar de los vectores a y b se denota como a↼ ⋅b; es decir a↼ ⋅b = abcosθ[pic 12]

Se puede probar que

a↼ ⋅b = a  b   + a  b   + a  b

Producto vectorial o producto cruz

Definimos el producto vectorial o producto cruz de los vectores a y b como el vector

absenθu‸

donde θ  es el ángulo formado por los vectores a y b y u‸

es un vector unitario cuya dirección

es perpendicular al plano formado por los vectores a y b y su sentido se determina por la regla de la mano derecha: Los dedos de la mano derecha se orientan en el sentido de a a b, el

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