Como se hacen la sSistemas de particulas

5Sistemas dePartículas.

Lamayorpartedelosobjetos físicosnopuedenpor logeneral tratarse comopartículas.Enmecánicaclásica,unobjetoextendido seconsidera comounsistema compuestoporungrannúmerode partículas puntuales.

Elestudio sirvepara elanálisisde partículaslibres,comopara un sólido rígidoen cuyocasolaspartículassemuevenmanteniendo distancias fijasentre sí.Antesdeentrarenel tema,hablaremosdelmomentolinealeimpulso.

Momentolinealeimpulso

Elmomentolineal deunapartículademasamquesemuevecon una velocidadvsedefinecomoelproductodelamasaporla velocidad

p=mv

Sedefine elvectorfuerza,comola derivadadelmomentolineal respectodeltiempo

[pic 1]

Lasegundaley deNewtonesuncasoparticulardeladefiniciónde fuerza,cuandola masadelapartículaesconstante.

[pic 2]

Despejandodpenladefinicióndefuerzaeintegrando

[pic 3]

Alaizquierda,tenemoslavariacióndemomentolinealy ala derecha,laintegral que sedenomina impulsodela fuerzaFen el intervaloque vadetiatf.

Paraelmovimientoen una dimensión,  cuando  una  partícula semuevebajola acciónde una fuerzaF, la integral es el área sombreada bajo la curva fuerza- tiempo.[pic 4]

[pic 5]

Enmuchassituaciones físicas se emplealaaproximacióndel impulso.En estaaproximación, sesupone que una de las fuerzas queactúansobre lapartículaesmuygrandeperodemuy corta duración.Estaaproximaciónesdegranutilidad cuandoseestudian loschoques,porejemplo,deunapelotaconunaraquetaouna pala. El tiempo  de colisión es muy pequeño, del  orden de centésimas o milésimas de  segundo, y  la fuerza promedio que ejerce la pala o la raquetaesde varios cientoso milesde newtons. Esta fuerza esmucho mayor que la gravedad,por lo que se puede utilizarlaaproximacióndelimpulso.Cuandose utilizaesta aproximación  esimportanterecordarquelos momentos lineales inicialy final serefierenalinstanteantesy despuésdelacolisión, respectivamente.

5.1Dinámicadeunsistemadepartículas

Sea unsistema de partículas.Sobre cada partícula actúan las fuerzasexterioresalsistemaylasfuerzasdeinteracciónmutua entrelaspartículas del sistema.Supongamosunsistema formado pordospartículas.Sobrelapartícula1actúalafuerzaexteriorF1y lafuerza queejercelapartícula 2,F12.Sobrela partícula 2actúa la fuerzaexterior F2yla fuerzaqueejercelapartícula1,F21.

Porejemplo,sielsistemadepartículasfueseelformadoporla TierraylaLuna:lasfuerzasexterioresseríanlasqueejerceelSol (yelrestodelosplanetas)sobrelaTierray sobrelaLuna.Las fuerzasinterioresserían laatracción mutuaentre estosdos cuerpos celestes.

Paracadaunasdelaspartículas se cumplequelarazóndela variacióndelmomentolinealconeltiempoesiguallaresultantede

lasfuerzasqueactúan sobrelapartículaconsiderada,esdecir,el movimiento de cada partícula viene determinado por las fuerzas interiores yexterioresqueactúansobredichapartícula.

[pic 6][pic 7]

Sumandomiembroamiembroy teniendo encuentalaterceraLey deNewton,F12=- F21, tenemos que

[pic 8]

[pic 9]

Donde P es el momento lineal total del  sistema y Fext  es la resultantedelasfuerzasexterioresqueactúan sobre elsistemade partículas.El movimiento delsistema de partículasviene determinadosolamenteporlas fuerzasexteriores.

5.2 Movimientodelcentrode masa.

Enlafigura,tenemosdospartículasdemasasm1y m2,comom1es mayorquem2,laposicióndel centrodemasasdelsistemadedos partículas estarácercadela masamayor.

[pic 10][pic 11]

Engeneral,laposiciónrcmdelcentrodemasadeunsistemadeN

partículases

[pic 12]

Lavelocidaddelcentrodemasasvcm   seobtienederivandocon respectodeltiempo

[pic 13]

Enelnumeradorfiguraelmomentolinealtotalyeneldenominador lamasatotaldelsistemadepartículas.

Deladinámicadeunsistemadepartículastenemosque

[pic 14]

Elcentrodemasasdeun sistemade partículas semuevecomosi fueraunapartícula demasaigualala masatotaldel sistemabajola accióndela fuerzaexternaaplicada al sistema.

EnunsistemaaisladoFext=0elcentrodemasassemuevecon velocidad constantevcm=cte.

El Sistemade ReferenciadelCentrodeMasas

Paraunsistemade dos partículas

[pic 15]

Lavelocidaddelapartícula1respectodelcentrode masas es

[pic 16]

Lavelocidaddelapartícula2respectodelcentrode masas es

[pic 17]

Enel sistema-C, lasdospartículas semuevenendirecciones opuestas.

Momentolineal

Podemos  comprobar fácilmente que el momento lineal de la partícula1respectoalsistema-Cesigualy opuestoalmomento linealdelapartícula2respectodelsistema-C

p1cm=m1v1cm p2cm=m2v2cm p1cm=-p2cm

Energíacinética

Larelaciónentrelasenergíascinéticasmedidasenelsistema-Ly enelsistema-C es fácildeobtener

[pic 18]

Elprimertérmino,eslaenergía cinéticarelativaalcentro demasas. Elsegundo término,esla energía cinéticade unapartícula cuya masaseaigualaladelsistemamoviéndose conlavelocidaddel centrodemasa. Aesteúltimotérmino,seledenominaenergía cinéticade traslacióndelsistema.

Enunsistemade partículaspodemossepararelmovimientodel sistemaendos partes:

[pic 19]elmovimientodetraslaciónconlavelocidaddelcentrode masa.

[pic 20]elmovimientointernorelativoalcentrodemasas.

En las siguientespáginas,mostraremosla importancia de centro de masas en la  descripción  del movimiento deunsistema de dos partículas queinteractúanatravésdeunmuelleelástico.

5.3Teoremadeconservacióndelacantidaddemovimiento.

Considéresedospartículasquepuedeninteractuarentresípero queestánaisladasdelosalrededores. Las partículassemueven bajosuinteracciónmutuaperonohayfuerzas exteriores alsistema.

Lapartícula1semuevebajolaacción dela fuerzaF12queejercelapartícula 2.La partícula2semuevebajolaacción dela fuerzaF21queejercelapartícula 1.La terceraleydeNewtonoPrincipiodeAcción y Reacciónestableceque ambas fuerzas tendrán  que  ser  iguales  y   de  signo contrario.

F12+F21=0[pic 21]

AplicandolasegundaleydeNewtonacadaunadelaspartículas

[pic 22]

Elprincipiode conservacióndelmomentolinealafirmaqueel momento  lineal  total  del  sistema   de  partículas  permanece constante, siel sistemaesaislado,esdecir, sinoactúanfuerzas exterioressobrelaspartículasdel sistema.Elprincipiode conservacióndelmomentolineal esindependientedela naturaleza delas fuerzasdeinteracciónentrelas partículas delsistemaaislado

m1u1+m2u2=m1v1+m2v2

Dondeu1yu2sonlasvelocidadesinicialesdelaspartículas1y2y

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