Comparación de método Gregory-Leibniz, método por integración y método de Montecarlo para medir pi

Comparación de método Gregory-Leibniz, método por integración y método de Montecarlo para medir pi.

Convocatoria: Mayo 2020.

Introducción.

El objetivo de mi investigación es saber la mejor manera en cuanto a exactitud y eficiencia para poder medir el numero pi, y al mismo tiempo aprender sobre este, sus propiedades, aplicaciones y en general lo que tenga que ver de alguna manera con este numero tan extravagante y raro.

Quiero realizar esta investigación por que desde siempre el numero pi ocupo una gran parte de mi atención, siempre me pareció un numero curioso, pues cuando era mas chico nunca cupo en mi entendimiento el concepto de un numero infinito, para ser honesto hasta el día de hoy no lo hace, no encuentro un sentido a que un numero no tenga un final de decimales, no lo entendía a tal punto, que pensé que simplemente los matemáticos se cansaron de seguir buscando decimales y solo le dieron el termino de infinito, pero no solo eso, cuando crecí y fui estudiando mas las matemáticas, es cuando descubrí de donde venia este numero tan irracional, pues este venia de la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Siempre fui malo para matemáticas, hasta que empecé a imaginarme los conceptos matemáticos que me enseñaban, pero cuando me imaginaba esa definición, seguía sin tener sentido, me preguntaba que como podía ser infinito, mas adelante tome cursos aparte de la escuela de matemáticas y por fin lo entendí un poco, llegue al punto de aprenderme los primeros 100 dígitos de el numero, que hasta el día de hoy recuerdo.

De igual manera no es solo para mi, como yo hay muchos estudiantes que no entienden este concepto de un numero infinito, ni el concepto o numero en general de lo que es y significa el numero pi, y este trabajo de investigación podría ayudar a esas personas, y a muchas mas, no solo ese tipo de personas se podrían interesar sino también entusiastas de las matemáticas.

Para esta investigación voy a analizar tres métodos el de LEIBNITZ-GREGORY, el método de Montecarlo y el método por integración, dado que son métodos populares dentro de el mundo de las matemáticas al igual que son ingeniosos, los métodos aparte que cada uno diferente del otro en cuanto a sus procesos para llegar a soluciones, los procedimientos para realizar estos métodos son muy diferentes uno del otro por esta razón es que da mucha variabilidad en cuanto a su eficiencia.

De acuerdo a (Reyes, 2011):

El método de LEIBNITZ - GREGORY en realidad, existía antes que ellos, pero ellos fueron los que pulieron la fórmula no solo para la exactitud y precisión de la misma sino para que su eficiencia sea mayor.

[pic 1]

Por otra parte, el otro método que planeo utilizar es de integración, y este se llama en integrales de funciones trigonométricas inversas. Este método se desarrolla de la siguiente manera:

[pic 2]

Finalmente, el método de Montecarlo de acuerdo a (Ortiz, 2015), Para demostrar este método primero hay que entenderlo. El problema es hipotético, suponiendo que tienes un cuadrado de 1metro por cada lado y dentro de el hay    de un circulo. Como se muestra en la imagen 1.[pic 3]

[pic 4]

Ilustración 1

Si tu pusieras puntos aleatoriamente en el tablero, algunas quedarian dentro de el circulo y otros no, considerando esto podemos establecer una relacion entre los puntos dentro y fuera del circulo donde se veria involucrado pi gracias al area de el circulo, de esa manera lo podrias despejar y obtener su valor.

Debido a la diferencia de complejidad de los dos distintos métodos es que podría

darse una diferencia en los resultados de la investigación.

Método de Gregory Leibniz.

El método como ya dije tiene la siguiente forma:

[pic 5]

Para dejar a  solo pasamos el 4 a multiplicar.[pic 6]

)[pic 7]

La serie tiene una forma de escribirse la cual podría ser escrita como una función para obtener los termino de la igualdad.

[pic 8]

Para poder llevar a cabo un calculo con tantos factores entonces lo programe.

El codigo en HTML es el siguiente:

<!DOCTYPE html>

<html lang="en" dir="ltr">

  <head>

    <meta charset="utf-8">

    <title>Gregory Leibniz</title>

  </head>

  <body>

    <script type="text/javascript" src="Gregory Leibniz.js">

    </script>

  </body>

</html>

El cual en realidad no importa, su unica funcion es que el codigo que si importa y que tiene el algoritmo pueda correrse.

El codigo de Javascript es este:

function pi(n) {

    var v = 0;

    for (i = 1; i <= n; i += 4) {  

        v +=  1 / i - 1 / (i + 2); 

    }

    return 4 * v;                  

}

document.write(pi(10) + "\n");

document.write(pi(100) + "\n");

document.write(pi(1000) + "\n");

document.write(pi(10000) + "\n");

document.write(pi(100000) + "\n");

document.write(pi(1000000) + "\n");

document.write(pi(10000000) + "\n");

lo dividi aquí por colores primero que nada esto es una funcion a la cual se le introduce una variable que es el numero de terminos, esta variable es “n”, al principio en verde oscuro lo unico que hago es definir una variable que me va a ayudar en el algoritmo a que se creen los terminos, despues la parte amarilla es el algoritmo que se va a encargar de devolverme los terminos que necesito, y finalmente en la parte roja le pido al documento que escriba la funcion valuada en cierto numero de terminos.

Basandonos en la serie y las condiciones que ya estan mencionadas, se comportaria como se muestra en la tabla 1.

Tabla 1

Asi es como se ve con los primeros 7 variables como se ve en la columna numero de factores con las condiciones aplicadas en las cuales el numero anterior se multiplicaba por 10.

Se puede ver como logicamente cada vez se acerca mas al valor esperado pues cada vez son mas los terminos que se usan, si se analiza los ultimos datos con detenimiento se puede notar que es hasta los 10,000 terminos que se consigue los primeros 3 digitos y hasta al final es cuando se obtienen 5 digitos con 1,000,0000,000 de terminos.

Metodo de Montecarlo.

Retomando lo ya explicado en la introducción.

Si a dicho circulo tu le lanzas una cantidad de dardos “n” algunos dardos caerán dentro de la parte del circulo y otros no. Podemos determinar que  dado que el área de el    de  circulo tiene respectivamente  de su area, y considerando que el radio obligatoriamente va a ser 1metro pues este mide lo mismo que uno de los lados de el cuadrado.[pic 9][pic 10][pic 11]

Si hacemos una relacion con el total de numero puntos “c” y la cantidad que esta dentro de la parte del circulo “n” entonces podemos establecer una relacion de la siguiente manera.

[pic 12]

Dado que cualquier numero sobre 1 es iguala si mismo.

[pic 13]

y después despejando.

[pic 14]

Después de obtener la formula que necesitare de igual manera programar para este calculo, pues la mayor cantidad de puntos que se consideren mayor exactitud va a tener el resultado con respecto a pi. A continuación, el código que utilice, que esta escrito en el lenguaje de programación Python. Considero importante mencionar que me apoye mucho en el código de (Ortiz, 2015) para este nuevo código.

from random import random

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