Algunos Metodos de Integración

INTEGRALES

1. Integral Por Partes.

Cuando el integrando está formado por un producto (o una división, que podemos tratar como un producto) se recomienda utilizar el método de integración por partes que consiste en aplicar la siguiente fórmula:

[pic 1]

Ejemplo:

                                         Entonces:      u = x                du = 1[pic 4][pic 2][pic 3]

                                                                             dv = ex                   v = ex[pic 5]

                                                              x.ex -        [pic 6][pic 7][pic 8][pic 9]

                                                                          = x.ex – ex + C

                                                                          = ex (x-1) + C

1. Cálculo de Áreas por Integración

Encontrar por integración el área del triángulo con vértices en (0,0); (4,0) y (0,3)[pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]

Se debe hallar la ecuación de la recta roja y luego integrarla entre cero (0) y cuatro (4) para así hallar el área bajo la curva, la cual corresponde al área del triángulo.

Elementos de la recta:[pic 16]

Ecuación de la recta con extremos en (0,3) y (4,0)

Se halla la pendiente (m): [pic 17]

Donde:        y2 = 0,   y1= 3

                 x2 = 4,  x1 = 0…

Entonces:      m =  = = -0.75[pic 18][pic 19]

Sabiendo que la pendiente m vale -0.75 y tomando por ejemplo el punto (4,0) es decir x=4 y y=0 podemos hallar el valor de la intersección con el eje y denominada con la letra “b”:

y = mx + b                         b = y – mx,    reemplazando se tiene:[pic 20]

                                     b = 0 – (-0.75*4)                    b = 3[pic 21]

Finalmente la Ecuación de la forma  y = mx + b  queda:

                                                         y = -0.75x + 3

Ahora bien, se debe integrar esta recta entre 0 y 4 que son las fronteras de la integración:

[pic 22]

=  + 3.x[pic 23]

=  + (3*4)[pic 24]

= (-0.75*8) + 12

= -6+12 = 6 u2

El área de este triángulo es fácil de corroborar pues la base b = 4 y la altura h = 3, por la fórmula del área del triángulo  A =   tenemos entonces:   A =            A = 6 u2 [pic 27][pic 25][pic 26]

1. Volúmenes de sólidos de revolución

žSi una región del plano xy se hace girar alrededor de una recta en el mismo plano, generará un sólido, al cual se le llama sólido de revolución. La recta recibe el nombre de eje de revolución o eje de rotación.

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