Area 2 - Métodos de Integración

Portada

Tarea 2 – Métodos de Integración

Presentado por:

Gina Alexandra Peña.

Andrés José López

 Esneider Leandro Barreto Molano.

Geny Yojana Mateus

Presentado a:

Yudi Ester Ramírez Calderón

Curso: Calculo Integral

Código: 100411

Universidad Nacional Abierta y a Distancia (UNAD)

Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería. (ECBTI)

Yopal – Casanare

01-07-2021

Tabla de contenido

Portada        1

Tabla de contenido        2

Introducción        4

Ejercicio 1- Integración por sustitución.        5

Ejercicio a        5

Ejercicio b        6

Ejercicio c        8

Ejercicio d        9

Ejercicio e        10

Ejercicio 2- Integración por partes.        11

Ejercicio a        11

Ejercicio b        13

Ejercicio c        15

Ejercicio d        17

Ejercicio e        19

Ejercicio 3- Sustitución Trigonométrica y Fracciones parciales.        20

Ejercicio a        20

Ejercicio b        22

Ejercicio c        25

Ejercicio d        27

Ejercicio e        29

Ejercicio 4- Integral Impropias.        30

Ejercicio a        30

Ejercicio b        31

Ejercicio c        33

Ejercicio d        35

Ejercicio e        36

Conclusiones        37

Referencias bibliográficas.        38

Introducción

Dando a su origen, la noción de integral ha respondido a la necesidad de mejorar los métodos de medición de áreas subtendidas bajo líneas y superficies curvas. La técnica de integración se desarrolló sobre todo a partir del siglo XVII, paralelamente a los avances que tuvieron lugar en las teorías sobre derivadas y en el cálculo diferencial.

Ejercicio 1- Integración por sustitución.

(Figueroa, 2014)

Ejercicio a

[pic 1]

Sustituimos el diferencial usando donde  y [pic 2][pic 3][pic 4]

[pic 5]

Reducimos la expresión usando el máximo común divisor [pic 6]

[pic 7]

Multiplicamos las fracciones.

[pic 8]

Sustituimos  con t[pic 9]

[pic 10]

Utilice las propiedades de la integral [pic 11]

[pic 12]

Usando , resolvemos la integral.[pic 13]

[pic 14]

Devolvemos la sustitución de [pic 15]

[pic 16]

Cuando la expresión dentro de las barras de valor absoluto es positiva, eliminamos las barras.

[pic 17]

Agregamos la constante de integración .[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

Ejercicio b

[pic 21]

DESARROLLO:

[pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

Ejercicio c

[pic 31]

• Se efectúa la siguiente sustitución simple, para obtener una expresión más sencilla.

[pic 32]

• Se reescribe la potencia positiva en denominador como una potencia negativa en el numerador.

[pic 33]

[pic 34]

• Resolviendo la integral.

[pic 35]

• Reescribiendo en función de la variable principal.

[pic 36]

[pic 37]

[pic 38]

Ejercicio d

[pic 39]

[pic 51]

Ejercicio e

Ejercicio 2- Integración por partes.

(Bastidas., 2014)

Ejercicio a

[pic 52]

Usamos la propiedad conmutativa para reorganizar los términos.

[pic 53]

Preparamos para integrar por partes al definir  asi:[pic 54]

[pic 55]

[pic 56]

Encontramos la derivada de ambos lados de la igualdad.

[pic 57]

Usando , resolvemos la derivada.[pic 58]

[pic 59]

  [pic 60]

Expandimos la ecuación

 [pic 61]

Encuentre la integral de ambos lados de la igualdad.

[pic 62]

Usando , resuelva la integral; usando , resolvemos la integral.[pic 63][pic 64]

[pic 65]

Sustituimos en [pic 66][pic 67]

[pic 68]

Reduzca la expresión usando el máximo común divisor x

[pic 69]

[pic 70]

Utilizando las propiedades de la integral [pic 71]

[pic 72]

Usando , resolvemos la integral.[pic 73]

[pic 74]

Simplificamos la expresión.

[pic 75]

Agregamos la constante de integración.[pic 76]

 [pic 77][pic 78]

[pic 79]

Ejercicio b

[pic 80]

 [pic 81]

[pic 82]

[pic 83]

[pic 84]

[pic 85]

[pic 86]

[pic 87]

[pic 88]

[pic 89]

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[pic 91]

[pic 92]

[pic 93]

[pic 94]

Ejercicio c

[pic 95]

• Se plantea una integración por partes para resolver de manera más sencilla el ejercicio.

[pic 96]

[pic 97]

[pic 98]

[pic 99]

• Se observa que la integral resultante también se resuelve con el método de por partes, razón por la cual realizamos el mismo procedimiento.

[pic 100]

[pic 101]

[pic 102]

• Finalmente se obtiene una integral que se puede obtener de manera directa. Luego la integral resultante sera

[pic 103]

[pic 104]

Ejercicio d

[pic 105]

[pic 124]

Ejercicio e

Ejercicio 3- Sustitución Trigonométrica y Fracciones parciales.

(Torres, 2014)

Ejercicio a

[pic 125]

Reescribimos la fracción usando la descomposición de fracción parcial.

...