Conceptos esenciales de las funciones

Conceptos esenciales de  las funciones  

Mat. Eleazar López Cruz

Mat. Eleazar López cruz

En la unidad 1, Conceptos esenciales de las funciones, se profundizará en el concepto de función,  que es el concepto conductor de este programa. Los alumnos tendrán la oportunidad de  enriquecerlo partiendo de las nociones estudiadas en el programa de Matemáticas V y abordándolo  ahora desde tratamientos numéricos, gráficos y analíticos. Reconocerán en las funciones  instrumentos valiosos para modelar fenómenos o situaciones en diversas disciplinas. Profundizarán  en la comprensión de la nomenclatura y notación, así como en el uso de un vocabulario  especializado propio de la disciplina que les permita describir con precisión el comportamiento y  las características de las funciones; estos términos serán los instrumentos que mediarán el acceso a  los conceptos de límite, derivada e integral que se estudiarán en las siguientes unidades.

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Conceptos esenciales de las funciones  

Unidad I de la asignatura de Matemáticas VI áreas I y II  

Objetivos específicos  

Que el alumno identifique distintos tipos de funciones, establezca sus características y sea capaz de  trazar sus graficas. Establecerá relaciones entre su entorno real y las abstracciones matemáticas.

Contenidos conceptuales: En esta unidad se revisarán los conceptos de producto cartesiano, de  relación y función, analítica y gráficamente, se distinguirán los casos en que las relaciones sean  funciones. Se definirán los conceptos fundamentales que determinan a una relación: dominio, rango o  imagen y contradominio o codominio y regla de correapondencia de una relación. Se definirá la función: inyectiva, suprayectiva o sobreyectiva y biyectiva. Clasificación de funciones en algebraicas y  trascendentes, en implícitas y explicitas, identificándose la variable independiente y la variable  dependiente. Gráfica de funciones básicas y casos especiales se abordarán las funciones: constante,  idéntidad, lineal, raíz cuadrada, valor absoluto, mayor entero y las que se definen con más de una regla  de correspondencia. Se repasarán las gráficas de las funciones algebraicas (por los 6 pasos) y  trascendentes directas e inversas. Álgebra de funciones (composición de funciones). Función inversa.

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Producto Cartesiano

Definición 1.- sean A y B dos conjuntos, se define su producto cartesiano, como el conjunto de  todas las parejas ordenadas de la forma (a,b) donde a∈A y b∈B . El producto cartesiano de A con  B se denota como AΧB y se lee “a cruz b”, entonces,

AXB a b a A b B a A b B = ∈ ∈ ∀ ∈ ∧ ∀ ∈ {( , / , . ) }

El producto cartesiano se representa por medio de diagramas de Venn (si los conjuntos son finitos)  o en el plano cartesiano. De hecho, el producto cartesiano Xcubre todo el plano cartesiano  asociando cada pareja ordenada de Xcon uno y solo un punto del plano cartesiano. Ejemplos:  

1.- Si A = {1,2,3,4} y B = {a,b,c}, entonces,  

AXB= {(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c),(3,a), (3,b), (3,c), (4,a), (4,b), (4,c),}. A B AXB

1

2

3

4

a b c

2.- Si A = {1,2}, B = Ø, C = {z / z es un número entero} y D = {r / r es un número real}, entonces, (a)AXB = BXA = BXC= Ø

(b) AXC z z A z C z C = ∈ ∈ ∀ ∈ {(1, , 2, /1,2 , . ) ( ) }

6

C

4

2

- 5 5A

- 2

- 4

- 6 

4

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(c)CXD z r z C r D z C r D = ∈ ∧ ∈ + ∀ ∈ ∧ ∀ ∈ {( , / . , ) }

6

4

2

- 5 5

- 2

- 4

- 6 

(d) A X A = A2 = {(1,1), (1,2),(2,1),(2,2)}

A A AXA=A2

1

2

1 2

5

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3.- Si C = N, B = {1,2}, entonces,CXB n n B n C n C = ∈ ∈ ∀ ∈ {( ,1 , , 2 /1, 2 , ) ( ) } 6

4

2

- 5 5

- 2

- 4

- 6

4.- Sea A = {1} y B = {r r ∈ − < ≤ / 3 4}, entonces, BXA = {( ,1) / ,1 r r B A ∈ ∈ }. Represéntalo en  el plano cartesiano. representa el conjunto de los números reales 

6

A

4

2

- 5 B 5

- 2

- 4

6

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Tarea 1:  

1.- Si A = {1,2,3} y B = {a,b,c,d}, entonces, ¿AΧB = ?, represéntalo en un diagrama de Venn y  en el plano cartesiano

2.- Si A = {1,2}, B = {r / r es un número real}, entonces,

¿BΧA =?, ¿AΧB =?, ¿AXA = ?, ¿BXB=? Represéntalos en el plano cartesiano 3.- Si B = Ø, C = {z / z es un número entero}, entonces, ¿B X C = ? ¿C X B = ?, ¿C X C=? 4.- Sea A = {-2.-1,2,3} y B ={r r ∈ − < ≤ / 4 4}, entonces, ¿AXB =?, ¿BXA=?, ¿AXA=,  ¿BXB=?. Represéntalo en el plano cartesiano y/o un diagrama de Venn.  

Relaciones

Definición 2.- Una relación R de un conjunto A a un conjunto B, es un subconjunto del producto  cartesiano AХ B.  

Es decir si R: A→B es una relación entonces, R ⊂AХB.

Ejemplos;

1.- Si A= φy B cualquier conjunto, entonces, AXφ= φ. ¿Cuantas relaciones existen en AXB? 2 .- Sean A = {1,2,3} y B = {a,b,c} y sean;

R1= {(1,b), (1,c), (2,a), (2,b)}. R1 es una relación de A en B debido a que R1 ⊂ AXB. A R1 B

1

2

a b

3 c

R2 = {(1,a), (2,a), (2,b)}. R2 es una relación de A en B debido a que R2 ⊂ AXB

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A R2 B 1

2

a b

3 c

R3 = {(1,a), (1,b), (1,c), (2,a),(2,b),(2,c), (3,c)}. ¿R3 es una relación de A en B? A R3 B

1

2

a b

3 c

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Tarea 2

1.- Si A = {1} y B = {a}entonces AXB tiene dos relaciones de A en B. ¿Cuáles son? Escríbelas.  2.- Si A = {1,2} y B ={a,b}, entonces, AXB tiene 16 relaciones. ¿Cuáles son? Escríbelas. 3.- Sean A = {t t ∈ − ≤ ≤ / 10 10} y B={r r ∈ − < ≤ / 5 5}dos conjuntos y sean  R4 = {(r r B A , 6 / , 6 − ∈ − ∈ ) }y R5 ={(1, , 2, /1, 2 r r B r A ) ( ) ∈ ∧ ∈ }. ¿R4 y R5 son relaciones  contenidas en BXA? Represéntalas en el plano cartesiano

4.- Si A = {2,3,4}y B={− − − 1, 2, 3, 4}. Da tres relaciones de B en A y represéntalas cada una de  ellas en un diagrama de Venn y en el plano cartesiano

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