Coniuntos y probabilidad

        CONJUNTOS Y PROBABILIDAD        

[pic 1]Capítulo

Coniuntos y probabilidad

EL CONCEPTO DE CONJUNTO

El concepto de conjunto es un pilar fundamental de la probabilidad y la estadística y de la matemática en general. Un conjunto puede considerarse como una colección de objetos, llamados miembros o elementos del conjunto. En general, mientras no se especifique lo contrario, denotamos un conjunto por una letra mayúscula A, B, C, y un elemento por una lefra minúscula a, b. Sinónimos de conjunto son clase, grupo y colección .

[pic 2] Si un elemento a pertenece a un conjunto C escribimos a e C. Si a no pertenece a C escribimos a C. Si a y b pertenecen a C escribimos a, b e C. Para que un conjunto sea bien definido, como siempre lo supondremos, debemos estar capacitados para determinar si un objeto específico pertenece o no al conjunto.

Un conjtmto puede definirse haciendo una lista de sus elementos o, si esto no es posible, describiendo alguna propiedad conservada por todos los miembros y por los no miembros. El primero se denomina el método de extensión y el segundo el método de comprensión.

[pic 3]EJEMPLO 1.1. El conjunto de las vocales en el alfabeto puede definirse por el método de extensión como { a, e, i, o. u } o por el método de comprensión como { x I x es una vocal } , léase "el conjunto de los elementos x tales que x es una vocal" donde la línea vertical I se lee "tal que" o "dado que".

EJEMPLO 1.2. El conjunto { x I x es un triángulo en un plano } es el conjunto de los triángulos en un plano. Obsérvese que el método de extensión no puede utilizarse aquí.

EJEMPLO 1.3. Si lanzamos un par de dados comunes los "números" o "puntos" posibles que pueden resultar sobre la cara superior de cada dado son elementos del conjunto { 1, 2, 3, 4, 5, 6}.

SUBCONJUNTOS

Si cada elemento de un conjunto A también pertenece a un conjunto B llamamos a A un subconjunto de B, escrito A c B ó B D A y leído "A está contenido en B" o "B contiene a A" respectivamente. Se sigue que para todos los conjuntos A tenemos A C A.

Si A CB y B C A llamamos a A y B iguales y escribimos A = B. En este caso A y B tienen exactamente los mismos elementos.

Si A no es igual a B, es decir si A y B no tienen exactamente los mismos elementos, escribimos

Si A C B pero A * B llamamos a A un subconjunto propio de B.

EJEMPLO 1.4. { a, i, u } es un subconjunto propio de {a, e, i, o, u }.

EJEMPLO 1.5. {i, o, a, u, e} es un subconjunto, pero no un subconjunto propio, de {a, e, i, o, u}, puesto que los dos conjuntos son iguales. Obsérvese que la sola redistribución de los elementos no cambia el conjunto.

EJEMPLO 1.6. Al lanzar un dado los resultados posibles cuando el resultado es "par" son elementos del conjunto {2, 4, 6}, el cual es un subconjunto (propio) del conjunto de todos los resultados posibles {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

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El teorema siguiente es verdadero para cualesquiera conjuntos A, B, C.

Teorema 1-1: Si A c B y B c C, entonces A c C.

CONJUNTO UNIVERSAL Y CONJUNTO VACIO

Para muchos propósitos restringimos nuestra discusión a subconjuntos de algún conjunto específico denominado el universo del discurso, o simplemente, universo. También se llama el conjunto o espacio universal y se denota por u. Los elementos de un espacio se llaman los puntos del espacio.[pic 4]

Es útil considerar un conjunto que no tiene elementos. Este conjunto se denomina el conjunto vacío o el conjunto nulo y se denota por p; es un subconjunto de cualquier conjunto.

EJEMPLO 1.7. Un conjunto importante que nos es familiar es el conjunto 'R de los números reales como 3, , VE, T, que pueden representarse por puntos en una línea real como el eje x. Si a y b son números reales tales que a < b, los subconjuntos {x I a x b} y {x I a < x < b} de 'R (con frecuencia descritos simplemente pora S x b y a [pic 5]< b) se denominan intervalos cerrado y abierto respectivamente. Los subconjuntos tales como {x I a x < b} ó {x I a < x b} se denominan intervalos semi-abiertos o semi-cerrados.[pic 6]

EJEMPLO 1.8. El conjunto de todos 108 números realeg x tales que x2 = —1, escrito {x 1x 2 = —I}, es el con' nto nulo o vacío ya que no hay números reales CUYOS cuadrados sean iguales a —I. Sin embargo, si incluimo¿ los números complejos el conjunto no eg vacío.

EJEMPLO 1.9. Si lanzamos un dado, el conjunto de todos los resultados posibles es el universo {1, 2, 3, 4, 5, 6}. El conjunto de los resultados que consisten de las caras 7 u 11 sobre un solo dado es el conjunto nulo.

DIAGRAMAS DE VENN

[pic 7][pic 8]Un universo u puede representarse geométricamente por el conjunto de puntos dentro de un rectángulo. En tal caso los subconjuntos de u (como A y B indicados y sombreados en la Fig. 1-1) se representan por conjuntos de puntos dentro de los círculos. Tales diagramas denominados diagramas de Venn, sirven para darnos una intuición geométrica respecto a las posibles relaciones entre conjuntos.

OPERACIONES ENTRE CONJUMOS

1. Unión. El conjunto de todos los elementos (o puntos) que pertenecen a A o a B, o tanto como a B, se llama la unión de A y B y se escribe A U B (región sombreada en la Fig. 1-2).

AnB

1. Intersección. El conjunp de todos los elementos que pertenecen simultáneamente a A y a llama la intersección de A y B y se escribe A n B (región sombreada en la Fig. 1-3).

CAP. 1]

Dos conjuntos A y B tales que A n B = p, es decir, que no üenen elementos comunes, se llaman conjuntos disjuntos. En la Fig. 1-1, A y B son disjuntos.

1. Diferencia. El conjunto que consiste en todos los elementos de A que no pertenecen a B se llama la diferencia de A y B, escrita por A —B (región sombreada en la Fig. 1-4).
2. Complemento, Si B C A entonces A —B se llama el complemento de B relativo a A y se escribe B'A (región sombreada en la Fig. 1-5). Si A = u, el conjunto universal, nos referimos a u —B sencillamente como el complemento de B y lo escribimos B' (región sombreada en la Fig. 1-6), El complemento de A u B se escribe (A u B )'.

ALGUNOS TEOREMAS RELATIVOS A CONJUNTOS[pic 38][pic 39]

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