Probabilidad

2.1 TEORÍA ELEMENTAL DE LA PROBABILIDAD

Las probabilidades son muy útiles, ya que pueden servir para desarrollar estrategias. Las probabilidades se utilizan para expresar cuan probable es un determinado evento.

Concepto clásico y como frecuencia relativa

La probabilidad clásica: el enfoque clásico o priori de la probabilidad se basa en la consideración de que los resultados de un experimento son igualmente posibles.

Empleando el punto de vista clásico, la probabilidad de que suceda un evento se calcula dividiendo el número de resultados favorables entre el número de resultados posibles.

Si queremos conocer las probabilidad del evento “A” según este enfoque debemos calcular el siguiente;

P(A)=N(A)/N(S)

Donde:

N(A): resultados posibles son favorables al evento A.

N(S): posibles resultados en el espacio muestral.

CONCEPTO COMO FRECUENCIA RELATIVA.

La definición frecuentista consiste en definir la probabilidad como el límite cuando n tiende al infinito de la proporción o frecuencia relativa del proceso.

A este enfoque también se le denomina enfoque empírico debido a que para determinar los valores de la probabilidad se requiere de la observación y de la recopilación de datos (posteriori).

2.2 PROBABILIDAD DE EVENTOS (DEFINICIÓN DE ESPACIO MUESTRAL, DEFINICIÓN DE EVENTO, SIMBOLOGÍA, UNIÓN, INTERSECCIÓN, DIAGRAMAS DE VENN)

Espacio muestral: es el conjunto de los diferentes resultados que pueden darse en un experimento aleatorio.

Suceso: subconjunto del espacio muestral se representa con una letra mayúscula, con sus elementos entre llaves y separados por comas.

Unión: la unión de dos sucesos es el suceso que ocurre cuando se da uno de ellos.

Intersección: la intersección de dos sucesos es el suceso que se da ambos a la vez.

Tipos De Sucesos

Suceso seguro: se tiene la certeza de que se producirá porque contiene todos los resultados posibles de la experiencia (coincide con el espacio muestral).

Suceso imposible: se tiene la certeza de que nunca se puede presentar, ya que no tiene elementos (es el conjunto vacio).

Suceso contrario de A: es el que ocurre cuando no se da A, es su complementario respecto a el espacio muestral (A).

Suceso elemental: es el que tiene un solo resultado, es un conjunto unitario.

Sucesos incompatibles: la intersección en conjunto vacio es decir no pueden los dos sucesos darse el mismo tiempo.

Sucesos compatibles: la intersección de dos sucesos contiene algún elemento.

UNIÓN DE CONJUNTOS

La unión de conjuntos A y B es otro conjunto A u B que contiene todos los elementos de A y B.

En la teoría de conjuntos, la unión de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto cuyos elementos son los elementos de los conjuntos iniciales.

Por ejemplo, el conjunto de los numero naturales es la unión del conjunto de los numero pares positivos P y el conjunto de los numero impares I.

P= {2, 4,6}

I= {1, 3,5,..}

N= {1, 2, 3, 4, 5,6,..}

La unión de los conjuntos se denota por el símbolo ∪ de modo que por ejemplo N=P ∪ I

Dados que los conjuntos A y B, la unión de ambos A ∪ B es el conjunto que contiene todos los elementos de A y B.

INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS

La intersección de A y B es otro conjunto de A ∩ B que contiene solo los elementos que pertenecen tanto A como a B.

En la teoría de conjuntos la intersección de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto que contiene los elementos comunes a los conjuntos de los números pares P y el conjunto de los cuadrados C de números naturales, su intersección es el conjunto de los cuadrados pares D:

P= {2,4,6,8,10, …}

C= {1,4,9,16,25, …}

D= {4,16,36,64, …}

La intersección de conjuntos se denota por el símbolo ∩ por lo que D= P ∩ C

Intersección de dos conjuntos A y B, dados dos conjuntos que contiene los elementos que pertenecen a ambos conjuntos. La intersección de dos conjuntos A y B es otro conjunto A ∩ B cuyos elementos son elementos comunes.

COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO

El complemento de un conjunto A es otro conjunto AC que contiene todos los elementos (dentro del universo U) que no están en A. el conjunto complementario de un conjunto dado es otro conjunto que contiene todos los elementos que no están en el conjunto original. Para poder definirlo es necesario especificar qué tipo de elementos se están utilizando o de otro modo cual es el conjunto universal.

Por ejemplo si se hablan de números naturales, el complementario del conjunto de los números primos P es el conjunto de los números no primos

P= {2,3,5,7, …}

C={1,2,6,8,9, …}

A su vez el conjunto C es el complementario de P. El conjunto complementario se denota por una barra vertical / o por el súper índice “C” con lo que se tiene PC = C

DIAGRAMA DE VENN

Diagrama de VENN mostrando la intersección de dos conjuntos. Los diagramas de VENN son ilustraciones usadas en la rama de las matemáticas y la lógica de clases conocida como teoría de conjuntos. Estos diagramas se usan para mostrar gráficamente la agrupación de cosas elementos en conjuntos representando cada conjunto mediante un circulo o un ovalo. La posición relativa en el plano de tales círculos muestra la relación entre los conjuntos.

Ejemplo

1. A ∪B

Probabilidad:

Posibilidad

Valor numérico

Principios de la teoría la probabilidad

Asignar probabilidades

1. Subjetiva: El enfoque subjetivo denominado también probabilidad personal, asigna a los eventos probabilidades, aun cuando los datos experimentales sean escasos o imposibles de obtener.

2. Objetiva: Basada en la información numérica

Método Clásico: todo resultado de un experimento tiene igual posibilidades (probabilidades) de que ocurra.

P (resultado o evento) =

Método de la frecuencia relativa: cuando los resultados ocurren con diferente frecuencia

Ejemplo: de 30 alumnos 5 de ellos no acreditan una unidad

R1= No acreditan = 5

R2= Acreditan = 25

n=30

TEORÍA DE CONJUNTOS

El término conjuntos juega un papel muy importante fundamental en el desarrollo de las matemáticas modernas; además propicia las bases para comprender con mayor claridad algunos aspectos de la teoría de la probabilidad.

Podemos definir de manera muy intuitiva a un conjunto como una colección o listados de objetos con características bien definidas que lo hace pertenecer a un grupo bien determinado.

En base a la cantidad que tenga un conjunto este se puede clasificar en conjuntos finitos en infinitos.

Finitos: tiene un número conocido de elementos, es decir se encuentran determinados por su longitud o cantidad.

Infinitos: son aquellos en los cuales no podemos determinar su longitud (el conjunto de los números reales).

Igualdad de de conjuntos: considerado el conjunto A y B si ambos tienen los mismos elementos es decir cada elemento que pertenece A también pertenece a B y si cada elemento que pertenece a B pertenece A.

Se representan con llaves {}

Experimento resultados conjuntos Dentro de las llaves se representa cada elemento

los elementos se separan por comas ,

No repetir elementos en el conjunto

Eventos Total de

resultados

Los elementos de un conjunto pueden ser literales (minúsculas), numéricos, nombres.

Todos conjunto tiene una notación:

a) Por extensión: cuando se especifican todos y cada uno de los elementos que forman al conjunto

b) Por comprensión: cuando en el conjunto encontramos la propiedad o características que van a definir los elementos del conjunto. Ejemplo

A={los alumnos que toman probabilidad en el aula E-3}

Todo conjunto se representa con una letra mayúscula

No importa el orden de los elementos

S= {s, a} = C= {a, s}

Conjunto Universo: el conjunto que contiene a todos los elementos que deseamos analizar

Conjunto: se representa con letras mayúsculas

Elementos: Van entre llaves y con minúsculas, nombres y números.

Subconjuntos: todo conjunto es subconjunto de si mismo

El conjunto vacio el cual se simboliza O = {}

Sea W= {1, 2, 3, 4, 5}

Subconjunto = es el conjunto deformando por el elemento

A= {1} B= {2, 3} C= {5, 1} D= {1, 2, 3, 4, 5}

Relación entre elemento y conjunto

OPERACIONES DE CONJUNTOS

1. Unión ∪ Suma

Es el conjunto de las X tal que

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