Conjuntos y elementos del conjunto

Conjuntos y Elementos

Intuitivamente, un conjunto es cualquier colección de objetos que pueda tratarse como una entidad.

A cada objeto de la colección lo llamaremos elemento o miembro del conjunto.

A los conjuntos los designaremos con letras mayúsculas y a sus elementos con letras minúsculas. La

afirmacion “el elemento a pertenece al conjunto A” se escribe

A ∈ A

Y la negación de este hecho, ¬(a ∈ A), se escribe

A /∈ A

La definición de un conjunto no debe ser ambigua en el sentido de que pueda decidirse cuando un objeto

Particular pertenece, o no, a un conjunto.

1.1.2 Determinación por Extensión

Un conjunto esta definido por extensión cuando se especifican todos los elementos que forman el

Mismo.

Ejemplo 1.1 Los siguientes conjuntos están definidos por extensión.

(a) El conjunto de las vocales del alfabeto.

A = {a, e, i, o, u}

(b) El conjunto formado por los números enteros pares no negativos y menores que diez.

B = {0, 2, 4, 6,8}

Obsérvese que los elementos del conjunto están separados por comas y encerrados entre llaves.

Relaciones entre Conjuntos

DEFINICIÓN: Un conjunto A está incluido en otro B si y sólo si todo elemento que pertenece a A, pertenece también a B. En símbolos:

A ⊆B ⇔ ∀ x: x∈A ⇒x∈ B

Observaciones:

A  B se lee “A está incluido en B”

 se lee “si y solamente si”

x se lee “para todo x”

 se lee “entonces”

SUBCONJUNTO

Sean los conjuntos A={ 0, 1, 2, 3, 5, 8 } y B={ 1, 2, 5 }

En este caso decimos que B esta contenido en A, o que B es subconjunto de A. En general si A y B son dos conjuntos cualesquiera, decimos que B es un subconjunto de A si todo elemento de B lo es de A también.

Por lo tanto si B es un subconjunto de A se escribe B  A. Si B no es subconjunto de A se indicará con una diagonal  .

Note que  se utiliza solo para elementos de un conjunto y  solo para conjuntos.

UNIVERSO O CONJUNTO UNIVERSAL

El conjunto que contiene a todos los elementos a los que se hace referencia recibe el nombre de conjunto Universal, este conjunto depende del problema que se estudia, se denota con la letra U y algunas veces con la letra S (espacio muestral).

Por ejemplo si solo queremos referirnos a los 5 primeros números naturales el conjunto queda:

U={ 1, 2, 3, 4, 5 }

Forma alternativa para indicar conjuntos de gran importancia:

Conjunto de números naturales (enteros mayores que cero) representados por la letra N donde

N={ 1, 2, 3, .... }

Conjunto de números enteros positivos y negativos representados por la letra Z donde

Z={..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }

Conjunto de números racionales (números que se representan como el cociente de dos números enteros {fracciones }). Estos números se representan por una Q

Conjunto de números irracionales (números que no puedan representarse como el cociente de dos números enteros) representados por la letra I.

Conjunto de los números reales que son los

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