Análisis de una curva en coordenadas polares
Enviado por Martín Lendic • 25 de Junio de 2021 • Resúmenes • 1.650 Palabras (7 Páginas) • 119 Visitas
Geometría 4 año Profesorado de matemática
Trabajo Práctico
Instituto superior de formación docente nº 50
Materia: Geometría
Tema: Análisis de una curva en coordenadas polares
Curso: 4to año
Año: 2011
Integrantes: Esquivel Romina, González Elvira
Fecha de entrega: 1/11/12
Consignas del trabajo:
[pic 1]
[pic 2]
- Determinar tangentes horizontales y verticales a cada curva.(pág. 3,4,5,6,)
- Puntos de intersección de ambas curvas y ángulo entre las curvas.(pág.7,8)
- Área de la primer curva.(pág. 9)
- Área dentro de la primer curva y fuera de la segunda.(pag.10,11)
- Longitud de arco de la primer curva.(pág.11,12)
- Determinar la curvatura de la primer curva en cualquier punto (ρ, Ѳ).(pág.12,13)
[pic 3]
Resolución :
Lo primero que realizamos antes de empezar a analizar cada punto es analizar la simetría de la lemniscata, ya que para la longitud de arco y el área de la curva nos va a ser útil. Por lo tanto analizamos la simetría de la gráfica con respecto a los ejes y el polo.
*Con respecto al eje polar(x), reemplazando Ѳ por (-Ѳ)
[pic 4][pic 5]
*Con respecto al eje , reemplazando Ѳ por (П-Ѳ) o ρ por (-ρ) y Ѳ por (-Ѳ)[pic 6]
Entonces , no es simétrica.[pic 7][pic 8]
*Con respecto al polo (origen) reemplazando ρ por (-ρ) o Ѳ por (П+Ѳ)
[pic 9]
Entonces ó Entonces , es simétrica. Por lo tanto la lemniscata es simétrica con respecto al polo.[pic 10][pic 11][pic 12]
1. Determinar tangentes horizontales y verticales a cada curva.
Si m es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de en el punto , entonces:[pic 13][pic 14]
[pic 15]
Lemniscata:
=[pic 16][pic 17][pic 18]
[pic 19]
[pic 20]
[pic 21]
[pic 22]
[pic 23]
[pic 24]
[pic 25]
Las tangentes horizontales se obtienen cuando:
= 0 y, entonces [pic 26][pic 27][pic 28]
[pic 29]
[pic 30]
Ѳ₁ = 0 Ѳ₂ = Ѳ = no es solución[pic 31][pic 32]
ρ₁ = 0 ρ = ⇒ ρ₂ = y ρ₃ = [pic 33][pic 34][pic 35]
Por lo tanto las rectas tangentes horizontales están en:
P₁ (0; 0) P₂ P₃ [pic 36][pic 37]
[pic 38]
Las tangentes verticales se obtienen cuando:
y senѲ(4cos²Ѳ[pic 39][pic 40]
cos Ѳ = 0 y [pic 41]
Ѳ₁ = Ѳ₂ = Ѳ₃ = ∉ sol[pic 42][pic 43][pic 44]
Por lo tanto las rectas tangentes verticales están en los siguientes puntos:
P₁ P₂ P₃[pic 45][pic 46][pic 47]
[pic 48]
Circunferencia:
ρ = = 0[pic 49]
= - cotg Ѳ [pic 50]
Las tangentes horizontales se obtienen cuando [pic 51]
cosѲ = 0 y entonces Ѳ₁ = Ѳ₂ = [pic 52][pic 53][pic 54][pic 55]
Por lo tanto las rectas tangentes horizontales están en los siguientes puntos:
P₁, P₂[pic 56][pic 57]
[pic 58]
Las tangentes verticales se obtienen cuando el denominador es cero.
y [pic 59][pic 60]
Ѳ₁ = 0 Ѳ₂ = П
Por los tanto los puntos donde hay tangente vertical son: P₁ (; 0) y P₂(;П)[pic 61][pic 62]
[pic 63]
2. Puntos de intersección de ambas curvas y ángulos entre las curvas:
ρ² = 4sen2Ѳ
ρ = [pic 64]
[pic 65]
[pic 66]
[pic 67]
Ѳ₁ = + [pic 68][pic 69]
Ѳ₂ = П + kП[pic 70]
ПП[pic 71][pic 72][pic 73]
П Ѳ = Ѳ = П[pic 74][pic 75][pic 76]
Los puntos de intersección son:
P₁ P₂ P₃ P₄[pic 77][pic 78][pic 79][pic 80]
Ángulo agudo entre ambas curvas:
En general, conociendo los puntos de intersección de ambas curvas se puede calcular los ángulos entre ellas con la fórmula: = [pic 81][pic 82]
En el caso de la circunferencia y la lemniscata no ocurre lo mismo. Como la tangente de la circunferencia es perpendicular al radio vector, no podemos utilizar la fórmula anterior para calcular el ángulo. Es decir que = ∄ entonces decimos que ó .Para comprobarlo pasamos la circunferencia de forma paramétrica es decir:[pic 83][pic 84][pic 85][pic 86]
...