Cuadernillo de transferencias lineales
claudianguianomTarea15 de Febrero de 2024
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UNIDAD V
TRANFORMACIONES LINEALES.
5.1 Definición de Transformaciones lineales, dominio y codominio.
Una transformación lineal (también llamada aplicación lineal, función lineal u operador lineal) es una aplicación entre dos espacios vectoriales que preserva las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar.
Si tenemos dos conjuntos cualesquiera V y W, se dice que una función es una regla de correspondencia de V a W si para cada elemento de V existe un único elemento de W.
Al conjunto V se le conoce como dominio de la función (conjunto de entrada), y al conjunto W como codominio o rango (conjunto de salidas) de la función.
[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]
[pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]
[pic 11][pic 12]
Se denomina transformación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales que cumpla la siguiente definición: [pic 13]
Nota.
Para la transformación lineal , tenemos que al vector se le llama imagen de y al conjunto de todas las imágenes de los vectores de se le llama rango de la transformación. Si en una transformación lineal tenemos que , entonces a la transformación se le conoce como operador lineal en . Lo veremos más adelante. [pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20]
5. 1. 1. Condiciones de linealidad.
Las propiedades que se deben conservar con la transformación son las siguientes:
a) el vector cero del espacio vectorial se debe transformar en el vector cero.
b) la transformación de un escalar por un vector debe ser igual al escalar por la transformación del vector.
c) la transformación de una suma de vectores debe ser igual a la suma de las transformaciones.
Ejemplo. Consideremos la siguiente transformación definida como . Verificar si esta transformación es lineal o no lo es.[pic 21][pic 22] |
Solución. Comprobamos si esta transformación satisface las condiciones de linealidad; para esto, consideremos los siguientes dos vectores y el escalar donde , donde .[pic 23][pic 24][pic 25] a) Por una parte tenemos que: x [pic 26] Entonces: [pic 27] Por otro lado: [pic 28] De esta manera se observa que: [pic 29] Así, la transformación satisface las dos condiciones de linealidad, por lo tanto: [pic 30] Es una transformación lineal. Geométricamente tenemos lo siguiente, consideremos un vector en y apliquemos la transformación ; así, gráficamente:[pic 31][pic 32][pic 33] [pic 34] es una transformación lineal, llamada transformación de proyección, pues proyecto un vector en sobre el plano x – y.[pic 35][pic 36] |
Ejemplo. Consideremos la transformación definida por (el determinante de una matriz). Mostrar si la transformación es lineal o no. [pic 37][pic 38] |
Solución. Consideremos dos matrices y un escalar así:[pic 39][pic 40] a) Tenemos: [pic 41] Pero, en general, sabemos que: [pic 42] Esto implica que: [pic 43] b) Para este caso: [pic 44] Entonces: [pic 45] Por tanto, la transformación no es lineal. [pic 46] |
5. 2 Núcleo e imagen de una transformación lineal.
5.2.1. Núcleo o kernel y nulidad de una transformación lineal definición.
El núcleo o kernel de una transformación lineal es un subespacio vectorial del espacio vectorial V.
Sea una transformación lineal, el núcleo de la transformación, denotado por Nu(T) o Ker(T), es un subconjunto del espacio vectorial , , que contiene a todos los vectores cuya transformación es igual a 0 (cero).[pic 47][pic 48][pic 49]
si y sólo si [pic 50][pic 51]
Como el único vector en el núcleo es el cero, entonces la trasformación es una a uno si y sólo si .[pic 52][pic 53]
La dimensión del núcleo se conoce como la nulidad de la transformación.
[pic 54]
Ejemplo. Consideremos la transformación lineal definida como Determinar el núcleo o kernel de la transformación. [pic 55][pic 56] |
Solución: Tenemos que encontrar a todos los vectores que se transforman en cero, así que: [pic 57] De donde:
[pic 59] [pic 60] Tenemos solución única (solución trivial), lo que significa que sólo hay un vector que se transforma en cero: [pic 61] Por tanto, la transformación es uno a uno. |
Nota. Cuando se determina el Núcleo asociado con una transformación lineal: 1. Siempre hay que resolver un sistema de ecuaciones lineales homogéneo. 2. Si el sistema homogéneo tiene solución única, entonces la transformación lineal es uno a uno. 3. Si el sistema homogéneo tiene soluciones infinitas, entonces la transformación lineal no es uno a uno. |
Ejemplo. Consideremos la transformación definida por Determinar la dimensión del [pic 62][pic 63][pic 64] |
Solución: Entonces: [pic 65] [pic 66][pic 67][pic 68] [pic 69][pic 70] [pic 71][pic 72][pic 73] Así: [pic 74] Obtenemos una base para este subespacio vectorial, factorizando el vector en términos de los parámetros libres, esto es: [pic 75] De donde la base del es el conjunto:[pic 76] [pic 77][pic 78] Por tanto, la transformación lineal no es uno a uno. |
5. 2. 2 imagen y rango de una transformación lineal.
Sea una transformación lineal. La imagen de la transformación, denotada por es un subconjunto de W, que contiene a todos los vectores que son imágenes de vectores V bajo la transformación .[pic 79][pic 80][pic 81][pic 82]
Un vector pertenece a la imagen de la transformación , si existe un vector tal que .[pic 83][pic 84][pic 85][pic 86]
La imagen de una transformación lineal es un subespacio vectorial del espacio vectorial .[pic 87][pic 88]
La dimensión de la imagen se conoce como rango de la transformación lineal.
[pic 89]
5.2.2.1 Teorema de la dimensión.
Sea una transformación lineal. Si la es finita se cumple que [pic 90][pic 91]
[pic 92]
Ejemplo. Sea T la transformación lineal dada por . Calcular el núcleo.[pic 93][pic 94] |
Solución: Para encontrar el núcleo hay que buscar que [pic 95] [pic 96] Y como dos vectores son iguales si y solo si sus componentes son iguales entre sí, entonces tengo: [pic 97] [pic 98] [pic 99] Entonces para que y como quería calcular el núcleo, tengo que [pic 100][pic 101] |
Ejemplo. Sea tal que ?[pic 102][pic 103] |
Solución: Para responder la pregunta, tendremos que ver si existe algún vector para el que se cumpla que . Buscaremos que cumpla:[pic 104][pic 105][pic 106] [pic 107] Ahora podemos plantear:
[pic 108] Sólo interesa que haya solución así que veo si este sistema que planteamos es compatible. [pic 109][pic 110] Queda la ecuación . De ahí concluimos que podemos obtener infinitas soluciones. La pregunta es si y como encontré “al menos una solución”, entonces es verdad que .[pic 111][pic 112][pic 113] |
5.3 Representación matricial de una transformación lineal.
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