DEFINICION DE HIPERBOLA

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DEFINICION DE HIPERBOLA

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuya diferencia de distancias (d1 y d2) a dos puntos fijos llamados focos (F1 y F2) es constante.

                     H={P(x,y)||d(P;F1)–d(P;F2)|=2a=cte}

El valor de esa constante es la distancia entre los vértices V1 y V2 de la hipérbola (2a).

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La hipérbola también se puede definir como una cónica, siendo la intersección del cono con un plano que no pase por su vértice y que forme un ángulo con el eje del cono menor que el ángulo que forma con el eje generatriz g del cono.

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ECUACIÓN CANÓNICA DE LA HIPÉRBOLA

Con una deducción similar a la de la elipse, se obtiene:[pic 5]

Es la ecuación canónica de la hipérbola con centro en (0,0) y eje focal y=0 (eje x)

Busquemos las intersecciones con los ejes:

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Entonces no corta al eje y.

Los puntos V1,2 se denominan vértices de la hipérbola.

Elementos de la hipérbola

Los elementos de la hipérbola son:

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• Focos: son los dos puntos fijos (F1 y F2).
• Radio vector: es la distancia R de un punto de la hipérbola (P) a cualquiera de los focos.
• Eje focal: es el eje de simetría E que une a los dos focos. También se llama eje transverso.
• Eje no transverso: es la mediatriz T del eje focal.
• Centro: es el punto medio O de los dos focos. También se puede definir como la intersección del eje focal y el transverso.
• Vértices: son los dos puntos de intersección del eje focal con la hipérbola (V1 y V2).

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• Distancia focal: es la distancia 2c entre focos. También se denota como F1F2.
• Eje real: es es la distancia 2a entre vértices.
• Eje imaginario: es la distancia 2b de los puntos B1 y B2. Los puntos B1 y B2 se generan como vemos en las relaciones entre semiejes.

Así pues, existe una relación entre los semiejes y la distancia focal:

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• Asíntotas: son las líneas rectas (A1 y A2) que se aproximan a la hipérbola en el infinito.
• Puntos interiores y exteriores: la hipérbola divide el plano en tres regiones. Dos regiones que contienen un foco cada una y otra región sin ningún foco. Los puntos contenidos en las regiones con un foco se llaman interiores (I) y los otros exteriores (Ex).
• Tangentes de la hipérbola: sobre cada punto Pi de ambas ramas de la misma. Cada tangente es la bisectriz de los dos radios vectores del punto Pi.

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• Circunferencia principal (CP): su radio r=a y su centro en O. Es el lugar geométrico de las proyecciones de un foco sobre las tangentes.

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• Directrices de la hipérbola: son dos rectas paralelas al eje transverso (D1 y D2). Su distancia a cada una es a/e (e es la excentricidad de la hipérbola). Pasan por las intersecciones de la circunferencia principal con las asíntotas (A1 y A2).

HIPÉRBOLA VERTICAL

La hipérbola vertical tiene el eje focal vertical, paralelo al eje de ordenadas Y.

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