Decaimiento Exponencial

Universidad Nacional Autónoma de México[pic 1][pic 2]

FACULTAD DE INGENIERIA

Calculo Integral

Decaimiento Exponencial

a) Introducción acerca de ¿Qué es el decaimiento exponencial y su utilidad?

Los modelos de decaimiento exponencial aplican para cualquier situación donde el decaimiento (disminución) es proporcional al tamaño actual de la cantidad de interés. Tales situaciones son encontradas en biología, negocios, química y las ciencias sociales.

Los modelos de decaimiento exponencial también son usados muy comúnmente, especialmente para el decaimiento radioactivo, concentración de drogas en la sangre, la depreciación del valor.

Aunque hay otras técnicas, la más utilizada para determinar la antigüedad de una muestra es ladatación por desintegración radiactiva o relación de isótopos. Si, además, la muestra que queremos datar alguna vez estuvo viva (por ejemplo, la momia de un faraón), entonces la prueba que se lleva a cabo es la datación por carbono-14, que es la que detallaremos en esta entrada.

b) Deducción de la fórmula que modela el decaimiento (partiendo de la ecuación diferencial)

Se deduce a partir de la ecuación diferencial:

[pic 3]

Donde se establece la cantidad de carbono (14) es proporcional a la cantidad existente.

Si hacemos que el tiempo sea cero entonces: A(0) = A0

Resolviendo por separación de variables:

[pic 4][pic 5]                        [pic 6][pic 7] [pic 8]

Resultando:

Ln A = Kt + C

Tomando a C como “Ln” resulta:

LnA =Kt + Ln C

DESPEJANDO a “ A”:

[pic 9]

A= [pic 10][pic 11]                     A= [pic 12][pic 13]                                A= [pic 14][pic 15]   ó     A= C[pic 16][pic 17][pic 18][pic 19]

Para encontrar C:

Retomando que: A(0) = A0      Donde A (0) ------ es referida al tiempo “t”;

y si K(t) =K(0)      entonces resulta :

A0 = [pic 20][pic 21]      entonces C=A0    y sustituimos: A=[pic 22][pic 23]

Dado que  A esta referida al tiempo entonces:

A(t) = [pic 24][pic 25]          ; pero como los valores de K serán Negativos entonces:

A(t) = [pic 26][pic 27] --------------------- (Fórmula deducida a partir de la Ec. Diferencial)

c) Obtención de datos necesarios proporcionados por el simulador  para la fórmula y uso de ellos para calcuular la edad de uso de los fósiles

Calculando edad de los fósiles.

Para calcular la constante “K”

Si se habla de la vida media del carbono entonces resulta que:

[pic 28][pic 29]                     y despejando “e” tenemos que:

[pic 30][pic 31] ;                       aplicando Ln nos queda que:

[pic 32]

Finalmente para calcular la constante “K”:           [pic 33][pic 34]

Regresamos a nuestra Ec. Original.

A(t) = [pic 35][pic 36]        ; despejando t para encontrar la edad de un fósil:

[pic 37][pic 38]                            [pic 39][pic 40] )[pic 41]

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