Definición y características de las funciones de

Definiciones formales

Sea f una función real inyectiva, cuyo dominio sea el conjunto I, es decir, creciente o decreciente en el conjunto I, y cuya imagen sea el conjunto J. Entonces, lafunción recíproca o inversa de f, denotada f -1, es la función de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla:

Destaquemos que f -1, al igual que f, es una aplicación biyectiva, que queda determinada de modo único por f y que cumple:

 y

 .

De hecho, estas dos últimas propiedades caracterizan a la función inversa, como muestra la siguiente definición alternativa.

[editar]Definiciones alternativas

Dadas dos aplicaciones y las propiedades:

1. y

2. ,

entonces:

 Si se cumple 1) entonces f es inyectiva y g sobreyectiva, y diremos que g es inversa por la izquierda de f.

 Si se cumple 2) entonces g es inyectiva y f sobreyectiva, y diremos que g es inversa por la derecha de f.

 Si se cumplen simultáneamente 1) y 2) entonces f y g son biyectivas y g es la inversa de f.

Este último punto se usa con frecuencia como definición de función inversa.

[editar]Notación alternativa

La notacion tradicional puede ser confusa. Una notación alternativa utilizada en teoría de conjuntos es usar una estrella:

 como alternativa a .

[editar]Propiedades algebraicas

Inversión del orden en la composición de funciones.

 La recíproca de la composición de dos funciones viene dada por la fórmula

Obsérvese que se invierte el orden de f y g, pues para deshacer el camino avanzado primero por f y después por g, habrá que empezar deshaciendo este último por medio de g–1 y terminar con f–1,

 La recíproca de la recíproca de una función es la propia función:

Esta propiedad se deduce de la simetría que hay en las fórmulas: y .

[editar]Propiedades analíticas de funciones reales de una variable

[editar]Continuidad

 f y g son simultáneamente continuas: Si una lo es, también lo será la otra. Sin embargo, es posible

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