Definición y características de las funciones de

Definiciones formales

Sea f una función real inyectiva, cuyo dominio sea el conjunto I, es decir, creciente o decreciente en el conjunto I, y cuya imagen sea el conjunto J. Entonces, lafunción recíproca o inversa de f, denotada f -1, es la función de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla:

Destaquemos que f -1, al igual que f, es una aplicación biyectiva, que queda determinada de modo único por f y que cumple:

 y

 .

De hecho, estas dos últimas propiedades caracterizan a la función inversa, como muestra la siguiente definición alternativa.

[editar]Definiciones alternativas

Dadas dos aplicaciones y las propiedades:

1. y

2. ,

entonces:

 Si se cumple 1) entonces f es inyectiva y g sobreyectiva, y diremos que g es inversa por la izquierda de f.

 Si se cumple 2) entonces g es inyectiva y f sobreyectiva, y diremos que g es inversa por la derecha de f.

 Si se cumplen simultáneamente 1) y 2) entonces f y g son biyectivas y g es la inversa de f.

Este último punto se usa con frecuencia como definición de función inversa.

[editar]Notación alternativa

La notacion tradicional puede ser confusa. Una notación alternativa utilizada en teoría de conjuntos es usar una estrella:

 como alternativa a .

[editar]Propiedades algebraicas

Inversión del orden en la composición de funciones.

 La recíproca de la composición de dos funciones viene dada por la fórmula

Obsérvese que se invierte el orden de f y g, pues para deshacer el camino avanzado primero por f y después por g, habrá que empezar deshaciendo este último por medio de g–1 y terminar con f–1,

 La recíproca de la recíproca de una función es la propia función:

Esta propiedad se deduce de la simetría que hay en las fórmulas: y .

[editar]Propiedades analíticas de funciones reales de una variable

[editar]Continuidad

 f y g son simultáneamente continuas: Si una lo es, también lo será la otra. Sin embargo, es posible que ninguna lo sea: Por ejemplo se puede definir f así: si x es racional, f(x) = x, y si es irracional, f(x) = -x. En este caso muy particular g = f.

 Además, en tal caso f y g son monótonas y tienen el mismo sentido de variación (ver la figura).

[editar]Gráfica de la función inversa

Ejemplo de una función f y de su recíproca g, donde los respectivos dominios de definición son I = [ -6; 6 ] y J = [ -6 ; 2.

 Las gráficas que representan f y g son simétricas con relación a la primera diagonal, es decir, la recta Δ: y = x. En efecto, esta simetría envía un punto cualquiera M(x,y) sobre el punto M´(y,x). M pertenece a la curva de f si y sólo si M´ pertenece a la de g, porque la primera condición se escribey = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definición equivalentes.

 Las tangentes en M y M´ tienen pendientes inversas. Es un efecto de la simetría anterior, y es la ilustración geométrica de la relación ya vista g'(y)• f'(x) = 1.

[editar]Derivabilidad

 f y g son simultáneamente derivables: Si una lo es, también lo será la otra, con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g.

 Además, en tal caso, para cualquier x de I, si notamos y = f(x), entonces por regla de la cadena tenemos que g'(y)• f'(x) = 1. La derivada de g se obtiene así fácilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final).

[editar]Ejemplos

 Por construcción misma, la función raíz cuadrada es la recíproca de la función "cuadrada" con dominio los reales no negativos, Es decir, las dos funciones siguientes son una recíproca

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