Definicon de ecuacion lineal
Enviado por grdrisne • 22 de Abril de 2017 • Documentos de Investigación • 3.128 Palabras (13 Páginas) • 294 Visitas
Definición de Ecuación lineal
[pic 1]
El concepto que nos ocupará a continuación está vinculado al ámbito de las matemáticas, en tanto, para esta ciencia, una ecuación es aquella igualdad en la cual aparece como mínimo una incógnita, dado que pueden ser más, que deberá ser revelada para arribar a su resolución.
Ahora bien, la ecuación dispone de elementos como ser: los miembros, que son cada una de las expresiones algebraicas, o sea los valores conocidos, y por otra parte las incógnitas, que son justamente aquellos valores a descubrir. A través de diferentes operaciones matemáticas podremos conocer los datos desconocidos.
Los valores conocidos que se enuncian en una ecuación pueden consistir en números, variables, constantes o coeficientes, mientras que los valores desconocidos o incógnitas serán simbolizados a partir de letras que hacen las veces del valor que más tarde se conocerá.
Con un ejemplo lo veremos más claro: 10 + x = 20. En esta ecuación simple los números 10 y 20 son los valores que conocemos y la x el que desconocemos y tenemos que averiguar. La resolución sería de esta manera: x = 20 – 10, entonces x = 10. La incógnita de la ecuación será 10.
Existen diversos tipos de ecuaciones, en las ecuaciones algebraicas se ubica el tipo de nos ocupa, que es el de Ecuación de Primer Grado o Ecuación Lineal. Se trata de un tipo de ecuación que solamente involucrará sumas y restas de una variable a la primera potencia.
Una de las formas más sencillas de este tipo de ecuación es: y = mx + n (en el sistema cartesiano se representan con rectas), entonces m será la pendiente y n el punto en el cual la recta corta al eje y… 4 x + 3 y = 7.
INDEPENDENCIA LINEAL
Sea V es un espacio vectorial. Se dice que un vector [pic 2] en V es combinación lineal de los vectores [pic 3], también en V, si existen escalares [pic 4] tales que
[pic 5]
Se dice que un conjunto de n vectores [pic 6] de un espacio vectorial V son linealmente dependientes si existen escalares [pic 7] no todos cero, tales que [pic 8] (1) Observa que la ecuación (1) se cumple siempre si las constantes [pic 9] son todas cero. Si la única forma en que se cumple la ecuación (1) es ésta, esto es, si [pic 10] sólo si [pic 11] entonces se dice que los vectores son linealmente independientes. |
Ejemplo 1.
Considere los vectores [pic 12], y [pic 13]. Al observar las componentes de ambos vectores vemos que [pic 14] o que
[pic 15]
lo que podemos expresar diciendo que el vector cero se puede escribir como una combinación lineal de los vectores [pic 16] y [pic 17] . Mas formalmente decimos que el vector cero es una combinación lineal no trivial de los vectores [pic 18] y [pic 19] . En el sentido de que los coeficientes de [pic 20] y [pic 21] son diferentes de cero. Por lo tanto estos vectores son dependientes.
Ejemplo 2.
Considere ahora los vectores [pic 22] y [pic 23]. La combinación lineal
[pic 24]
implica que
[pic 25]
y la única solución a este sistema es [pic 26] . Entonces [pic 27] y [pic 28] son vectores independientes o linealmente independientes.
En el ejemplo 2 se ve que la idea de independencia lineal está relacionada con los sistemas de ecuaciones lineales. Esta relación se puede establecer así:
Un conjunto [pic 29]de k vectores de [pic 30] es linealmente independiente si, y sólo si, el sistema homogéneo de ecuaciones de [pic 31] [pic 32] (2) tiene sólo la solución trivial [pic 33]. |
Este sistema de ecuaciones lineal homogéneo (2) tiene solución no trivial si el número de incógnitas k es mayor que el número de ecuaciones n, esto es, si k > n. Por lo que cualquier conjunto [pic 34] de vectores de [pic 35] es linealmente dependiente si k> n.
Ejemplo 3.
El conjunto de vectores [pic 36] de [pic 37] es linealmente dependiente por ser tres vectores en [pic 38].
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