Deformación por torsión por una flecha circular

INTRODUCCIÓN

Definición

Deformación por torsión por una flecha circular

Hipótesis básicas para miembros circulares

Fórmulas de torsión

Procedimiento para análisis

Ángulo de torsión

Ejercicio Nº1

Ejercicio Nº2

Ejercicio Nº3

Ejercicio Nº4

CONCLUSIÓN

BIBLIOGRAFÍAS

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En numerosas aplicaciones de ingeniería mecánica se utilizan elementos que sirven para transmitir movimientos circulares desde una dirección hacia otra. Por ejemplo, los ejes transmiten movimientos desde el motor eléctrico hasta los engranajes, y de éstos hacia otros ejes, correas, rodamientos, etc., sin embargo en ingeniería de construcción es mucho más raro trabajar con estos momentos torsores y, desde siempre se ha evitado en edificación la aparición de este tipo de esfuerzos. En ingeniería de puentes, no se puede evitar su aparición y uno de los aspectos más importantes es el diseño del cajón del puente bajo el esfuerzo torsor, que aparece por el desequilibrio que se produce al existir mayor tráfico rodado en un sentido que en el otro. El estudio de las tensiones tangenciales generadas por un momento torsor es más sencillo en una sección circular que en una sección rectangular.

Por este motivo, y teniendo en cuenta que en la práctica los elementos sufren momentos torsores se diseñan con secciones circulares, será este el principal punto en este trabajo. Se mostrará como determinar la distribución del esfuerzo dentro del miembro y el ángulo de torsión cuando el material se comporta de manera elástico lineal y también cuando se comporta de manera inelástica. Se verá el análisis de flechas y de tubos estáticamente indeterminados y temas especiales como el de los miembros de secciones transversales no circulares.

En 1784, Coulomb estudió la rigidez a torsión de un alambre mediante la oscilación torsional de un cilindro metálico que colgaba de éste. En este estudio experimental, obtuvo que el momento torsor y el ángulo girado eran proporcionales.

Posteriormente un ingeniero francés, A. Dulen, experimentó con barras circulares y asumió que las secciones planas permanecían planas y que los radios de estas secciones seguían siendo líneas rectas después de la deformación. Observó, sin embargo, que estas hipótesis no eran válidas para secciones rectangulares. Thomas Young afirmó en sus estudios que el momento torsor produce, principalmente, tensiones tangenciales cuando se aplica sobre perfiles circulares. Estableció que estas tensiones tangenciales son proporcionales a la distancia al centro de la sección y al ángulo girado.

El primer matemático que se interesó por el complejo problema de torsión fue Cauchy, quien en sus publicaciones ya aplicó la Elasticidad para resolver la torsión de una barra de sección rectangular estrecha. En este estudió demostró que las secciones no permanecían planas durante la torsión sino que se producía un efecto de “alabeo” (deformación en la dirección del eje del elemento).

Definición

La torsión es la solicitación que se presenta cuando se aplica un momento sobre el eje longitudinal de un elemento constructivo o prisma mecánico, como pueden ser ejes o, en general, elementos donde una dimensión predomina sobre las otras dos, aunque es posible encontrarla en situaciones diversas.

La torsión se caracteriza geométricamente porque cualquier curva paralela al eje de la pieza deja de estar contenida en el plano formado inicialmente por las dos curvas. En lugar de eso una curva paralela al eje se retuerce alrededor de él. El estudio general de la torsión es complicado porque bajo ese tipo de solicitación la sección transversal de una pieza en general se caracteriza por dos fenómenos:

Deformación por torsión por una flecha circular.

Un par de torsión es un momento que tiende a hacer girar a un miembro con respecto a su eje longitudinal. Su efecto es de interés primordial en el diseño de ejes o flechas de impulsión usadas en vehículos y una maquinaria.

Se puede ilustrar físicamente lo que sucede cuando un par de torsión se aplica a una flecha circular considerando que la flecha está hecha de un material altamente deformable tal como el hule, figura (a). Cuando se aplica el par, los círculos y líneas de rejillas longitudinales originalmente marcados sobre la flecha tienden a distorsionarse para formar el patrón mostrado en la figura (b). Por inspección la torsión hace que los círculos permanezcan como círculos y cada línea y que cada línea de rejilla longitudinal se deforme convirtiéndose en una hélice que interseca a los círculos según ángulos iguales. También las secciones transversales en los extremos de la flecha permanecen planas, esto es, no se alabean o comban hacia adentro ni hacia fuera, y las líneas radiales en estos extremos permanecen rectas durante la deformación, figura (b). A partir de estas observaciones podemos suponer que si el ángulo de rotación es pequeño, la longitud y el radio de la flecha permanecerán sin alteración. Así pues, si la flecha está fija en un extremo como se muestra en la figura (c) y se aplica un par de torsión en su otro extremo, el plano sombreado se distorsionará en una forma oblicua como se muestra. Aquí se ve una línea radial ubicada en la sección transversal a una distancia x del extremo fijo de la flecha girará un ángulo . El ángulo , así definido, se llama ángulo de torsión. Depende de la posición de x y y variará a lo largo de la flecha, como se muestra.

Hipótesis básicas para miembros circulares

Para establecer una relación entre el par de torsión interno y los esfuerzos que éste genera en miembros con secciones transversales circulares macizas y tubulares, es necesario plantear dos hipótesis, cuya validez se justificará después. Éstas, junto con la homogeneidad del material, son:

1. Una sección plana de material perpendicular al eje de un miembro circular permanece plana después de aplicados los pares de torsión (es decir, no tiene lugar ningún alabeo o distorsión de planos paralelos normales al eje de un miembro). Para pequeñas deformaciones se supone que planos paralelos perpendiculares al eje permanecen separador una cierta distancia constante. Esto no es cierto si las deformaciones son grandes. Sin embargo, como las deformaciones usuales son muy pequeñas, los esfuerzos no considerados aquí son despreciables.

2. En un miembro circular sometido a un par de torsión, las deformaciones unitarias cortantes y varían linealmente desde el eje central, alcanzando en la periferia. Esta hipótesis está ilustrada en la figura (6-3) y significa que un plano imaginario como el DO O C se traslada al D’O O C cuando se aplica el par de torsión. Alternativamente, si un radio imaginario O C se considera fijo en dirección, radios similares inicialmente en O B y O D girarán a las respectivas nuevas posiciones O B’ Y O D’. Esos radios permanecen rectos.

Debe recalcarse que estas hipótesis son válidas sólo para miembros circulares macizos y tubulares. Para este tipo de miembros, estas hipótesis funcionan tan bien que son aplicables más allá del límite de comportamiento elástico de un material.

3. Si la atención se confina a un material linealmente elástico, la ley de Hooke es aplicable y se infiere que el esfuerzo cortante es proporcional a la deformación unitaria cortante. Para este caso se encuentra una concordancia completa entre las cantidades determinadas experimentalmente y las calculadas con las fórmulas derivadas de esfuerzo y deformación basadas en esas hipótesis. Además, su validez puede demostrarse rigurosamente con los métodos de la teoría matemática de la elasticidad.

Fórmulas de torsión

En el caso elástico, con base en las hipótesis previas, como el esfuerzo es proporcional a la deformación unitaria y ésta varía linealmente desde el centro, los esfuerzos varían linealmente desde el eje central de un miembro circular. Los esfuerzos inducidos por las deformaciones supuestas son esfuerzos cortantes y se encuentran en el plano paralelo a la sección normal al eje de una barra. La variación del esfuerzo cortante se infiere directamente de la hipótesis de la deformación unitaria cortante y del uso de la ley de Hooke por cortante. Esto se ilustra en la figura 6-4. A diferencia del caso de una barra cargada axialmente, este esfuerzo no es de intensidad uniforme. El esfuerzo cortante máximo ocurre en los puntos más remotos del centro O y se designa por . Esos puntos, como los C y D en las figuras 6-3 y 6-4, se encuentran en la periferia de una sección a una distancia c del centro. Para una variación lineal del esfuerzo cortante es .

El par de torsión resistente puede expresarse en términos del esfuerzo una vez que la distribución de éste en una sección se ha establecido. Por equilibrio, este par de torsión resistente debe ser igual al par de torsión T aplicado externamente. Por consiguiente,

Donde la integral suma todos los pares de torsión desarrollados sobre el corte por las

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