Demostraciones matematicas
Enviado por gianella23 • 25 de Mayo de 2019 • Informes • 1.958 Palabras (8 Páginas) • 187 Visitas
DEMOSTRACIONES MATEMÁTICAS
ÍNDICE
CAPÍTULO I 2
Introducción 2
Objetivos 2
Objetivo general 2
Objetivos específicos 2
CAPÍTULO II 2
Marco teórico 2
CAPÍTULO III 3
Demostraciones matemáticas 3
1. Demostración directa 3
2. Demostración por contraposición 4
3. Demostración por reducción al absurdo 4
4. Demostración por el principio de inducción 5
5. Demostración por disyunción exclusiva 6
CAPÍTULO IV 8
Conclusiones y discusiones 8
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 8
CAPÍTULO I
Introducción
En el presente informe, se ha realizado una investigación sobre las “Demostraciones matemáticas” y sus formas más utilizadas. El estudio y comprensión de este tema es de gran importancia dado que los procedimientos matemáticos rigurosos y formales de una demostración nos permiten estudiar temas y conceptos nuevos; asimismo nos permiten evaluar fundamentos matemáticos aceptados como verdaderos. Por otro lado, las “Demostraciones matemáticas” también nos permiten comprobar la validez de axiomas, teoremas y definiciones matemáticas. Es importante mencionar que las “Demostraciones matemáticas” reafirman un teorema, axioma, etc., mediante procedimientos matemáticos formales verdaderos pero siempre es necesario recurrir a nuestra intuición inductiva aunque no es tomada como formal por muchos matemáticos.
OBJETIVOS
- Objetivo general:
Estudiar las formas de “Demostraciones matemáticas” más utilizadas con el fin de comprobar fundamentos matemáticos convencionalmente aceptados como verdaderos utilizando procedimientos formales.
Objetivos específicos
Demostrar que los fundamentos utilizados en Matemáticas para resolver problemas en sus diversas áreas pueden ser evaluadas; esto, con el fin de evitar ambigüedades y demostrar que las Matemáticas es un campo de estudio riguroso y formal.
CAPÍTULO II
Marco teórico
Demostraciones matemáticas
Procedimiento formal utilizado para comprobar la validez de fundamentos matemáticos aceptados como verdaderos.
Conjeturas
Fundamentos matemáticos que no han podido ser comprobados mediante procedimientos formales convincentes y consistentes pero tampoco han sido refutados. Si una conjetura es comprobadas en algún momento pasa a ser considerada como un teorema.
Condición suficiente y necesaria
Una condición suficiente (causa) se relaciona con la condición necesaria (consecuencia) en el sentido de causa-efecto. Por ejemplo, si llueve (condición suficiente), entonces Mario se resfría (condición necesaria). De este modo, si la condición suficiente es verdadera, la condición necesaria también será verdadera. Por el contrario, si la condición necesaria es verdadera, eso no implica que la condición suficiente también sea verdadera. Volviendo al ejemplo, si Mario se resfría, puede ser producto de un contagio en lugar de que haya llovido.
CAPÍTULO III : DEMOSTRACIONES MATEMÁTICAS
En el desarrollo de una demostración matemática se observan dos parte importantes: una hipótesis y una tesis a demostrar; por ejemplo
[pic 1]
p= Hipótesis
q= Tesis
Demostración directa
En primer lugar, se considera [pic 2]como verdadera dado que es el fundamento matemático a demostrar. Si aceptamos [pic 3](condición suficiente) como verdadera, [pic 4](condición necesaria) también será verdadera.
[pic 5]
[pic 6][pic 7]
[pic 8]
Esta implicación se desarrolla por la Ley de Modus Pones cuyo esquema es:
[pic 9]
De modo simple, tendríamos una situación como la siguiente:[pic 10]
Si hoy llueve, entonces el piso se moja
Hoy llueve[pic 11]
Por lo tanto, el piso se moja
EJEMPLO[pic 12]
Si [pic 13], entonces [pic 14][pic 15]
Antecedente Consecuente
Utilizamos el antecedente para demostrar el consecuente. Tomamos la igualdad [pic 16] y la reemplazamos en el antecedente:
[pic 17]
[pic 18]=[pic 19]
Así tenemos:
[pic 20]
Por lo tanto, el fundamento matemático antecedente es verdadero; por implicación, el consecuente también es verdadero. Es decir, el antecedente es la condición suficiente del consecuente; del mismo modo, el consecuente es condición necesaria del antecedente.
Demostración por contraposición
Esta forma es una demostración matemática indirecta. Como sabemos de[pic 21]decimos que si [pic 22]es verdadero (condición suficiente), entonces [pic 23]es verdadero. De manera opuesta, [pic 24]no es condición necesaria de [pic 25]. Por lo tanto, si [pic 26], podríamos afirmar [pic 27].
De modo simple, tendríamos una situación como la siguiente:
Si amanece, habrá luz[pic 28]
No hay luz[pic 29]
Por lo tanto, no ha amanecido
De modo formalizado: [pic 30]
Al afirmar [pic 31] , se afirma [pic 32], así:
[pic 33]
...