Derivadas

UNIDAD 4 DERIVADAS

4.1 CONCEPTO DE INCREMENTO DE UNA DERIVADA

INCRENETO:

SI LA VARIABLE INDEPENDIENTE X TIENE UN VALOR INICIAL A Y SE LE DA UN VALOR FINAL B A LA DIFERENCIA B-A SE LE LLAMA INCREMENTO PARA ESTO SE UTILIZA LA LETRA GRIEGA DELTA “∆”

X = V.FINAL – V.INICIAL

V.FINAL = B

V.INICIAL = A

X = B-A

∆ = B – A

EJEMPLO 1

DETERMINA EL VALOR DE LA VARIABLE X CON VALOR INICIAL A=4 VALOR FINA B=9

A=4 B=9

∆= B-A

∆ = 9-4

∆= 5

SI SE REGISTRA UN INCREMENTO DE VALOR ( O EL RESULTADO ES POSITIVO ) SE DICE QUE EL INCREMENTO ES POSITIVO.

EJEMPLO 2

CALCULA EL VALOR DEL INCREMENTO DE LA VARIABLE X CON VALOR INICIAL A=3 Y VALOR FINAL B=0.

A=3 B=0

∆= B-A

∆= 0-3

∆=-3

SI EXISTE UNA DISMINUCION DE VALOR (SI EL RESULTADO ES POSITIVO) SE DICE QUE EL INCREMENTO ES NEGATIVO

EJEMPLO 3

CALCULA EL VALOR DEL INCREMENTO DE LA VARIABLE X CON VALOR INICIAL A=4 Y VALOR FINAL B=4

. A=4 B=4

∆= B-A

∆= 4-4

∆=-O NULO

TEOREMAS DE UNA DERIVADA

SON VARIOS TEOREMAS QUE APLICA DENTRO DE LASDERIVADAS CON LA CUAL SOLO MENCIONAREMOS EN ESTE MOMENTO AL TEOREMA DEL INCREMENTO.

EL INCREMENTO DE UNA VARIABLE QUE PASA DE UN VALOR NUMERICO A OTRO ES LA DIFERENCIA QUE SE OBTIENE RESTANDO VALOR FINAL, EL VALOR INICIAL Y DICHO INCREMENTO SE REPRESENTA EN LOS EJES X Y Y.

∆X = X FINAL – X INICIAL

∆Y = Y FINAL – Y INICIAL

CONCEPTO DE LA DERIVADA

LA DERIVADA DE UNA FUNCION ES UN PUNTO DONDE EL VALOR DE LA PENDIENTE DE LA RECTA ES TANGENTE EN ESE PUNTO A UNA CURVA ES DECIR, EL AUNGULO QUE SE FORMA ENTRE LA RECTA Y LA CURVA.

4.2 INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA

Y2 PF=P2(X2,Y2)

∆= Y2-Y1 AN

P(X,Y)

Y1

PI=P1 X1 X2 ∆= X2-X1

(X1,Y1)

4.3 NOTACION DE LA DERIVADA

LA DRIVADA SE EXPRESA DE UNA DE LAS SIGUIENTES FORMAS:

DF(X) cauchi derivada de la function x

Y^1 lagrange derivada de la y

∆X/∆Y= dX/dY Leibnitz (incremento y)/(incremento x)= (diferencia y)/(diferencia x)= (derivada y)/(derivada x)

Dependiendo de de la notación matemática el libro o el autor podemos definir que una diferencial ya se a d x o y o cualquier función es un incremento que se encuentra implícito dentro de una derivada y su interpretación geométrica es la siguiente:

4.5 REGLA DE LA CADENA BINOMIO CUADRADO PERFECTO

(a+b)^2= a^2+2ab+ b^2

(a+b) (a+b)

a.b + a.b

a.b + a.b

a^2+2ab+ b^2

(a+b)^3= a^3+3a^2 b+3ab^2+ b^3

(a+b) (a+b) (a+b)

a^2+2ab+ b^2

a+b

a^3+2a^2 b+ab^2+a^2 b+2〖ab〗^2+b^3

a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3

PIRAMIDE DE PASCAL

Regla de la cadena o regla general para derivar

La regla para hacer una derivación por el método general consiste en llevar acabo los 4 pasos sig. De aplicación en cualquier función.

Se sustituye la función x en fx por el incremento de x +y a y se le agrega el incremento de y

Una vez resuelto las operaciones con monomios se resta el valor dado de la función ( función original ). Automáticamente se obtendrá el valor del incremento de y.

Se divide la función obtenida entre el incremento de x.

Una vez resuelto lñas operaciones con monomios se realizan en limite de la función donde el incremento de x tiende a 0.

1 x= ∆x+x

Y= y+∆y

2 funcion original

∆y

3 derivar

∆x

4 lim

∆x 0

Derivar las sig. Funciones por el método de los cuatro pasos.

Y= 3x+2 f.explicita

Y + ∆y=(∆x+x) +2

Y+∆y= 3∆x+3x+2

Y+∆y= 3∆x+3x+2

-y -3x -2

∆y ]= 3∆x

∆y = 3

∆x

dy= 3

dx

y=3

Derivar la función por el método de los 4 pasos

1.

Y = x^2 f. original

Y+ ∆y = (∆x-+ x)ˆ2

∆xˆ2(x)+2 ∆xˆ1 (x)ˆ1+1∆(x)ˆ0 xˆ2

(∆x)ˆ2 +2 ∆x(x) + xˆ2

2.

Y+ ∆y= (∆x) ˆ2 +2 ∆x ( x) + xˆ2

-y - xˆ2

∆y= (∆x)ˆ2 + 2 ∆x (x)

3.

∆y = (∆x)ˆ2 + 2 ∆x (x)

∆x ∆x ∆x

4.

∆y = ∆x +2 (x)

∆x

∆y = (0)+2 (x)

∆x

∆y = 2x

∆x

dy= 2x

dx

Derivar la función por el método de los 4 pasos.

Y= xˆ3

1.

Y + ∆y = ( ∆x+ x) ˆ3 (a + b )ˆ3 =aˆ3+ 3ab+3abˆ2+bˆ3

∆x x (∆x)ˆ3 +3∆x (x) +3 (∆x) (x)ˆ2+ (x)ˆ3

2.

Y + ∆y= ∆xˆ3+3 (∆x)ˆ2 (x) +3∆x (x)ˆ2+xˆ3

-y -xˆ3

∆y = ∆xˆ3 +3 (∆x)ˆ2 (x)+3 ∆x (x)ˆ2

3.

∆y= ∆xˆ3 +3 (∆x)ˆ2 (x)+3 ∆x (x)ˆ2

∆x ∆x ∆x ∆x

∆y = ∆xˆ2+3 ∆x (x)+3 (x)ˆ2

∆x

∆y = 6xˆ3

∆x

Derivar por los 4 pasos

Y= 2xˆ2 – 2x

1.

∆y+y= 2 (∆x+x)ˆ2- (∆x+ x)

∆y+y= 2 (∆x)ˆ2 +2x (∆x+ x) -2 (∆x+ x)

∆y+y= 2 (∆x)ˆ2+4x∆x +2xˆ2-2∆x -2x

2. -y -2xˆ2 +2x

∆y =2 (∆x)ˆ2+4x∆x -2∆x

3.

∆y = 2 (∆x)ˆ2+4x∆x -2∆x

∆x ∆x ∆x ∆x

∆y = 2∆x+4x (1) -2 (1)

∆x

∆y = 2∆x+4x-2

∆x

4.

Lim ∆x-> 0

∆y = 2(0) +4x-2

∆x

∆y = 4x-2 dy= 4x-2

∆x ∆x

4.4 PROPIEDADES DE LA DERIVADA

TEOREMA: Sean u(x) y v(x) dos funciones que poseen derivadas en el punto “x” entonces se cumplen las siguientes propiedades

1.- Derivada de una constante

d/dx c=dc/dx=0

2.- Derivada de una función “x” entre su misma derivada

d/dx x=dx/dx=1

3.- Derivada de la suma y diferencias de dos funciones

d/dx (v+v)=du/dx+dv/dx

d/dx (v-v)=du/dx-dv/dx

4.- Derivada del producto de una función “x” una constante

d/dx c(u)=c du/dx

Los cuatro anteriores postulados o formulas son los principios básicos para la derivación.

4.6 Formulas de derivación y fórmulas de diferenciación.

Formula 1: dc/dx=0

Ejemplo: y=2.91

Obtener la derivada: y=2.91

dy/dx=d2.91/dx

dc/dx=0

dy/dx=d2.91/dx=0

2.- y=2π

dy/dx=d2π/dx=0

Formula 2: y=x

Derivar y

dy/dx=dx/dx

dx/dx=1

dy/dx=dx/dx=1

Formula 4: y=2x

Derivar y

dy/dx=d2x/dx

dcu/dx=c du/dx

2dx/dx=dx/dx=1

=2(1)

dx/dx=2

DERIVAR LAS SIGUIENTES FUNCIONES

Y=52O(2)

dy/dx=d1040/dx=0

y=x

dy/dx= dx/dx=1

y=5x

dy/dx=d5x/dx=5 dx/dx = 5(1) = 5

Y= x + 2 1 0

dy/dx=(d(x + 2))/dx=dx/dx+d2/dx=1

y=8^2-x 0 1

dy/dx=(d(64-x))/dx= d64/dx - dx/dx=0-1=-1

(d(u-v))/dx=(d(u))/dx-d(v)/dx d(c)/dx=0 d(x)/dx=1

Y= x^3

dy/dx=x^3/dx= dy/dx=x^n/dx= 〖nx〗^(n-1)= 〖3x〗^(3-1 )= 〖3x〗^2

y= x^8

dy/dx=x^8/dx= dy/dx=x^n/dx= 〖nx〗^(n-1)= 〖8x〗^(8-1 )= 〖8x〗^7

y=x^2

dy/dx=x^2/dx= dy/dx=x^n/dx= 〖nx〗^(n-1)= 〖2x〗^(2-1 )= 2x

Y= x^3

dy/dx=x^3/dx= dy/dx=x^n/dx= 〖nx〗^(n-1)= 〖3x〗^(3-1 )= 〖3x〗^2

Y = 3x+2

dy/dx=(d(3x + 2))/dx=d3x/dx+d2/dx=(3d(x))/dx+0=3(1)+0=3

(d(u+v))/dx =(d(u))/dx+d(v)/dx d(cx)/dx=c d(x)/dx+d(c)/dx=o d(x)/dx=1

11) y=x^2+x

dy/dx=(d〖(x〗^2+x))/dx = (dx^2)/dx +dx/dx = 2x+ 1

(d(u+v))/dx=du/dx+dv/dx (dx^n)/dx=nx^(n-1) dx/dx=1

12) 2x^3+x

dy/dx=(d〖(2x〗^3+x))/dx = (d2x^3)/dx +dx/dx = 2 (dx^3)/dx+ 1 =2(3x^2 )+1=6x^2+1

d(u+v)/dx=du/dx+dv/dx dcx/dx=c dx/dx dx/dx=1 (dx^n)/dx=nx^(n-1)

13) 2x^2+2x

dy/dx=(d〖(2x〗^2+2x))/dx = (d2x^2)/dx +d2x/dx = 2 (dx^2)/dx+ 2 dx/dx =2(2x)+2(1)=4x+2

d(u+v)/dx=du/dx+dv/dx dcx/dx=c

...