DERIVADAS

LA DERIVADA

la derivada de una función es uno de los dos conceptos centrales del cálculo infinitesimal. El otro concepto es la antiderivada o integral; ambos conceptos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo. A su vez, los dos conceptos centrales del cálculo están basados en el concepto de límite, el cuál separa las matemáticas previas, como álgebra, trigonometría o geometría analítica, del cálculo. Quizá la derivada es el concepto más importante del cálculo infinitesimal.

La derivada de una función en un punto mide el coeficiente por cual el valor de la función cambia. Es decir, que una derivada provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio. El coeficiente de cambio equivale a decir que tan rápido crece (o decrece) una función en un punto (razón de cambio promedio) a lo largo del eje x en un plano cartesiano de dos dimensiones, es decir, la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto.

La curva de la función está dibujada en negro. La tangente a la curva está dibujada en rojo. La derivada de la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la tangente

DERIVADA COMO LIMITE

En terminología algo anticuada, diferenciación manifiesta el coeficiente en que una cantidad "y" cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad "x" con la que tiene una relación funcional. Usando el símbolo "Δ" para referirse a tal cambio, se define tal coeficiente como el límite del cociente Δx / Δy cuando Δx tiende (o se aproxima) a cero.

En la notación de Leibniz, se escribe la derivada de y con respecto a x como sigue: dy / dx

Esta notación depende del nombre de la función y su variable. En este caso, la función se llama "y", y la variable "x", como generalmente se designa. Esta notación sugiere la razón de dos cantidades infinitesimales.

Interpretación Geométrica De La Derivada

Es importante entender qué es una función matemática para hablar de derivadas. Una ecuación que relaciona dos variables x e y puede entenderse como una función, siempre y cuando a cada valor de x le corresponda uno y solamente un valor de y. La correspondencia entre estas dos variables se puede abstraer mediante parejas (x,y), donde y es el valor numérico que resulta de evaluar la ecuación usando algún número x. Tales parejas se pueden interpretar como puntos geométricos en un plano cartesiano de manera que, al graficar muchos puntos, se obtiene un dibujo que representa la función.

Por ejemplo, dada la función , las parejas se obtienen dando valores arbitrarios a x y calculando y como se muestra en la siguiente tabla:

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