Derivadas

Funciones Vectoriales

Definición: Una función vectorial es aquella cuyo dominio es un conjunto de números reales y cuyo rango es un conjunto de vectores. Esto quiere decir que podemos definir la función como:

( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ) ⃗ ( ) ⃗ ( ) ⃗⃗

Ejemplo: Si ( ) ( ( ) √ )

entonces las funciones componentes son

( ) ( ) ( ) ( ) √

De acuerdo con la convención usual, el dominio de consta de todos los valores de para los cuales la expresión ( ) está definida, por tanto todas expresiones ( ) √ están definidas para cuando

Por tanto el dominio es [ ⟩.

Observación:

1. Si ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ) ⃗ ( ) ⃗ ( ) ⃗⃗

entonces las ecuaciones paramétricas de esta curva están dadas por:

( ) ( ) ( )

2. El segmento de línea de se determina mediante la ecuación vectorial

( ) ( )

MATEMATICA IV

Lic. Ysela Mariell Alva Ventura

Ejemplo: Trace la curva cuya ecuación vectorial es

( ) ⃗ ⃗ ⃗⃗

Solución:

Las ecuaciones paramétricas para esta curva son

Puesto que la curva debe estar en el cilindro circular . El punto ( ) se ubica directamente arriba del punto ( ) el cual se desplaza en el sentido contrario al de las manecillas del reloj alrededor del círculo en el plano . Como , la curva se dirige en espiral hacia arriba

siguiendo la forma del cilindro a medida que se incrementa. La curva se llama hélice.

La hélice es conocida porque se parece a los resortes. También se encuentra en el modelo del ADN, la estructura de la molécula del ADN es como un par de hélices paralelas pero conectadas.

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Ejemplo: Determine una ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas del segmento rectilíneo que une el punto ( ) con el punto ( )

Solución:

La ecuación vectorial para el segmento rectilíneo viene dado por

( ) ( )

donde ( ) y ( ) luego la ecuación vectorial que une los puntos resulta

( ) ( )( ) ( ) ( )

de modo que las ecuaciones paramétricas correspondientes son

Si ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ) ⃗ ( ) ⃗ ( ) ⃗⃗ donde son funciones derivables entonces

( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ) ⃗ ( ) ⃗ ( ) ⃗⃗

Ejemplo: Calcule la derivada de

( ) ( ) ⃗ ⃗ ⃗⃗

Solución:

Se deriva cada componente de : ( ) ⃗ ( ) ⃗ ⃗⃗

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Observación:

1. Al vector ( ) se le denomina vector tangente a la curva descrita por la curva ( ) en el punto siempre que ( ) exista y ( )

2. La recta tangente a ( ) en el punto se define como la recta que pasa por y que es paralela al vector tangente ( ) .

3. El vector unitario tangente es: ( ) ( )| ( )|

4. Al igual que las funciones de valores reales la segunda derivada de una función vectorial es la derivada de es decir ( )

Ejemplo: Determine las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la hélice de ecuaciones paramétricas

en el punto ( )

Solución:

La ecuación vectorial de la hélice es ( ) ( )

de modo que

( ) ( )

El valor del parámetro que corresponde al punto ( ) es de modo que el vector tangente es ( ) ( ).

La recta tangente es la recta que pasa por ( ) y es paralela al vector ( ) de modo que sus ecuaciones paramétricas son

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Reglas de Derivación: Suponga que son funciones vectoriales derivables, es un escalar y es una función de valores reales. Entonces:

1. [ ( ) ( )] ( ) ( )

2. [ ( ))] ( )

3. [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )

4. [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )

5. [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )

6. [ ( ( ))] ( ) ( ( ))

...